Resolva os problemas de valor inicial:
(b)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem com amortecimento e força externa em regime forçado por uma função de escada
onde
O conteúdo é solução de EDO por soma da parte homogênea e particular via resposta ao impulso (convolução).
Passo 2
Primeiro achamos a solução geral da homogênea
A equação característica é
r^2+2r+2=0 com raízes
r=-1pm i . Logo
Impondo as condições iniciais
yh(0)=0 e
yh'(0)=1 obtemos
A=0 e
B=1 , portanto
Passo 3
A parte particular pode ser escrita como convolução com a resposta ao impulso
isto é
A solução completa é
Passo 4
Para
0<= t<pi temos
f(tau)=0 em
[0,t] , logo
Passo 5
Para
pi<= t<2pi ,
f(tau)=2 quando
tauin[pi,t] e zero antes, então
No substituímos
u=t-tau , de
tau=pi (
u=t-pi ) até
tau=t (
u=0 ) e usamos
Assim
Portanto, para
pi<= t<2pi ,
Passo 6
Para
t>=2pi ,
f(tau)=2 só em
tauin[pi,2pi] , logo
Fazendo
u=t-tau de
tau=pi (
u=t-pi ) até
tau=2pi (
u=t-2pi ) e usando o mesmo antiderivado, obtemos
Então, para
t>=2pi ,