Resolva os problemas de valor inicial:
(b)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem com amortecimento e força externa em regime forçado por uma função de escada
y''+2y'+2y=f(t), y(0)=0,;y'(0)=1,
onde
f(t)= 0,&0<= t<pi, 2,&pi<= t<2pi, 0,&t>=2pi
O conteúdo é solução de EDO por soma da parte homogênea e particular via resposta ao impulso (convolução).

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da homogênea
yh''+2yh'+2yh=0
A equação característica é r^2+2r+2=0 com raízes r=-1pm i. Logo
yh(t)=e^-tl(Acos t+Bsin tr)
Impondo as condições iniciais yh(0)=0 e yh'(0)=1 obtemos A=0 e B=1, portanto
yh(t)=e^-tsin t

Passo 3

A parte particular pode ser escrita como convolução com a resposta ao impulso
h(t)=e^-tsin t,
isto é
yp(t)=integral0^th(t-tau),f(tau),dtau =integral0^te^-(t-tau)sin(t-tau),f(tau),dtau
A solução completa é
y(t)=yh(t)+yp(t)

Passo 4

Para 0<= t<pi temos f(tau)=0 em [0,t], logo
yp(t)=0 Longrightarrow y(t)=e^-tsin t

Passo 5

Para pi<= t<2pi, f(tau)=2 quando tauin[pi,t] e zero antes, então
yp(t) =2integralpi^te^-(t-tau)sin(t-tau),dtau
No substituímos u=t-tau, de tau=pi ( u=t-pi) até tau=t ( u=0) e usamos
integral e^-usin u,du =-tfrace^-u2l(sin u+cos ur)+C
Assim
yp(t) =2l[-tfrace^-u2(sin u+cos u)r]u=0^,u=t-pi =1-e^-(t-pi)l[sin(t-pi)+cos(t-pi)r]
Portanto, para pi<= t<2pi,
y(t) =e^-tsin t +1 -e^-(t-pi)l[sin(t-pi)+cos(t-pi)r]

Passo 6

Para t>=2pi, f(tau)=2 só em tauin[pi,2pi], logo
yp(t) =2integralpi^2pie^-(t-tau)sin(t-tau),dtau
Fazendo u=t-tau de tau=pi ( u=t-pi) até tau=2pi ( u=t-2pi) e usando o mesmo antiderivado, obtemos
yp(t) =-e^-(t-pi)l[sin(t-pi)+cos(t-pi)r] +e^-(t-2pi)l[sin(t-2pi)+cos(t-2pi)r]
Então, para t>=2pi,
y(t) =e^-tsin t -e^-(t-pi)l[sin(t-pi)+cos(t-pi)r] +e^-(t-2pi)l[sin(t-2pi)+cos(t-2pi)r]

Resposta

y(t)= e^-tsin t,&0<= t<pi,[6pt] e^-tsin t +1 -e^-(t-pi)l[sin(t-pi)+cos(t-pi)r],&pi<= t<2pi,[6pt] e^-tsin t -e^-(t-pi)l[sin(t-pi)+cos(t-pi)r] +e^-(t-2pi)l[sin(t-2pi)+cos(t-2pi)r],&t>=2pi ]

Exercícios de Livros Relacionados