Resolva as seguintes equações lineares de primeira ordem:
d xd t+6 x+7 t=0;

Passo 1

Beleza, o enunciado pede a solução da equação diferencial linear de primeira ordem
dxdt + 6x + 7t = 0
Aqui temos o formato dxdt + p(t),x = q(t) com p(t)=6 e q(t)=-7t. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(t) = e^integral p(t),dt = e^integral 6,dt = e^6t

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(t):
e^6tdxdt + 6,e^6tx = -7t,e^6t
O lado esquerdo é a derivada do produto x,e^6t, ou seja,
ddtl(x,e^6tr) = -7t,e^6t

Passo 4

Integramos ambos os lados:
x,e^6t = integral -7t,e^6t,dt + C
Para integral -7t,e^6t,dt, usamos integração por partes escolhendo
u = -7t, dv = e^6t,dt
du = -7,dt, v = tfrac16e^6t
Assim
integral -7t,e^6t,dt = uv - integral v,du = -76t,e^6t + 76integral e^6t,dt = -76t,e^6t + 736e^6t

Passo 5

Substituindo de volta e isolando x(t):
x,e^6t = -76t,e^6t + 736e^6t + C
x(t) = -76t + 736 + C,e^-6t

Resposta

x(t) = C,e^-6t - 76t + 736

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