Resolva, no sentido L S Q, o sistema linear dado. A solução encontrada é solução no sentido habitual?
l2 x+y=4 4 x+2 y=1 6 x+3 y=4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, no sentido dos mínimos quadrados (LSQ), a “melhor” solução do sistema
2x + y = 4, 4x + 2y = 1, 6x + 3y = 4,
isto é, dado que é um sistema sobredeterminado (3 equações e 2 incógnitas), vamos minimizar o erro quadrático |Ax- b|^2. Depois, cheque se a solução obtida satisfaz exatamente todas as equações (solução habitual).

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes A e o vetor dos termos independentes b.
A = 2 & 1 4 & 2 6 & 3 , b = 414
Em LSQ, a solução x=(x,y)^T deve satisfazer as equações normais
A^T A, x = A^T b

Passo 3

Calculemos primeiro A^T A e A^T b.
A^T A = 2 & 4 & 6 1 & 2 & 3 2 & 1 4 & 2 6 & 3 = 56 & 28 28 & 14 ,
A^T b = 2 & 4 & 6 1 & 2 & 3 414 = 3618

Passo 4

As equações normais ficam
Observe que , logo as equações são dependentes e geram uma família infinita de soluções descrita por uma única equação:

Passo 5

Portanto, o conjunto de soluções LSQ é
(x,y)in R^2 mid 2x + y = tfrac97,
que podemos escrever, por exemplo, como
x = t, y = tfrac97 - 2t, tin R

Passo 6

Para ser solução no sentido habitual, um par (x,y) precisaria satisfazer todas as três equações originais. Mas em cada uma delas o lado esquerdo é 2x+y, 4x+2y=2(2x+y) e 6x+3y=3(2x+y). Se 2x+y=tfrac97, o primeiro membro valeria tfrac97, não 4. Logo não há (x,y) que anule o resíduo de todas as equações simultaneamente.

Resposta

O conjunto de soluções no sentido dos mínimos quadrados é
(x,y)mid 2x+y=tfrac97
Nenhuma dessas soluções satisfaz exatamente todas as equações originais, ou seja, não é solução no sentido habitual.

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