Resolva os sistemas de equações, em R times R:
lraizx-raizy=2 raizx y x+y=20

Passo 1

O enunciado pede para resolver em
O conteúdo é manipulação algébrica de radicais e sistemas de equações. Como há raízes quadradas, primeiro observamos que é preciso ter . Para simplificar, vamos usar as substituições
com e .

Passo 2

Em termos de
O objetivo agora é resolver esse sistema para , .

Passo 3

Da primeira equação a - b = 2ab, como b>0 (se b=0 a segunda equação não bate com a^2=20), podemos definir
t = ab>0
Reescrevendo a - b =2ab em função de t e a:
a - b =2ab Longrightarrow ab-1 =2a Longrightarrow t-1=2a Longrightarrow a=t-12,
e então
b=at=t-12t

Passo 4

Substituindo em a^2+b^2=20 obtemos
(t-12)^!2 ;+;(t-12t)^!2 =20
Multiplicando por 4t^2 e simplificando chega-se à equação em t:
(t^2+8t+1)(t^2-10t+1)=0
As raízes dessa fatoração são
t=-4pmraiz15 e t=5pm2raiz6
Como precisamos de t>0, temos
t1 =5+2raiz6 e t2 =5-2raiz6

Passo 5

Para cada t calculamos a=(t-1)/2 e b=a/t, mas lembrando que a e b devem ser não negativos.
  • Se t1=5+2raiz6, então a = t1-12=2+raiz6, b = at1 = raiz6-2, ambas não negativas.
  • Se t2=5-2raiz6, então a=t2-12=2-raiz6<0, o que não faz sentido para a=raizx. Logo descartamos t2.

Passo 6

Ficamos com
a=2+raiz6, b=raiz6-2
Voltando a x e y:
x = a^2 = (2+raiz6)^2 = 10+4raiz6, y = b^2 = (raiz6-2)^2 = 10-4raiz6
Verificamos rapidamente que x+y=20 e que raizx-raizy=2raizxy.

Resposta

(x,y)=l(10+4raiz6,,10-4raiz6r)

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