RESOLVA POR TRANSFORMADAS DE LAPLACE
\frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}}=100 \frac{\partial^{2} w}{\partial t^{2}}+100 \frac{\partial w}{\partial t}+25 w, w(x, 0)=0 se x \geqq 0, w_{t}(x, 0)=0 se t \geqq 0,
w(0, t)=\operatorname{sen} t se t \geqq 0
\frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}}=100 \frac{\partial^{2} w}{\partial t^{2}}+100 \frac{\partial w}{\partial t}+25 w, w(x, 0)=0 se x \geqq 0, w_{t}(x, 0)=0 se t \geqq 0,
w(0, t)=\operatorname{sen} t se t \geqq 0
Passo 1
O enunciado dá a equação em derivadas parciais
com condições iniciais
e condição de contorno
O método será aplicar a transformada de Laplace em
, resolver a EDO resultante em
e então inverter a transformada.
Passo 2
Denotando
usamos que, pelas condições iniciais,
Aplicando Laplace à PDE obtemos
Passo 3
Note que
Logo a EDO em
é
A solução geral é
Para
exige-se
limitada, logo
e
Passo 4
Impondo o contorno
, temos
Portanto
Passo 5
Para inverter usamos a propriedade de deslocamento:
onde
e
é a função de Heaviside. Aqui
e
tem
. Assim