Sabendo que
integral0^1 11+x^2 d x=pi4
calcular pi por meio da regra de Simpson (4-14) aplicada à integral no primeiro inembro, com n=5.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar pi a partir da integral
integral0^111+x^2,dx = pi4
usando a regra composta de Simpson. O conteúdo é integração numérica (regra de Simpson composta), e vamos precisar de n=5 pontos igualmente espaçados no intervalo [0,1].

Passo 2

Como temos 5 pontos, há 4 subintervalos e o passo é
h = 1-04 = 0,25
Os pontos são
x0=0, x1=0,25, x2=0,50, x3=0,75, x4=1

Passo 3

Calculamos f(x)=tfrac11+x^2 em cada nó:
f(x0) = 1, f(x1) = 11+(0,25)^2 = 11+tfrac116 = 1617approx0,941176,
f(x2) = 11+(0,5)^2 = 11+tfrac14 = 45=0,8, f(x3) = 11+(0,75)^2 = 11+tfrac916 = 1625=0,64,
f(x4) = 11+1^2 = 12 = 0,5

Passo 4

Aplicamos a fórmula composta de Simpson:
I approx h3l[f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + f(x4)r]
Substituindo os valores:
f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + f(x4) = 1 + 4cdot1617 + 2cdot45 + 4cdot1625 + 12 approx 9,4247059,
I approx 0,253times 9,4247059 approx 0,78539216

Passo 5

Como integral0^111+x^2,dx = pi4, temos
pi4approx I Longrightarrow pi approx 4,I approx 4times0,78539216 = 3,1415686

Resposta

pi approx 3,1415686 (pela regra de Simpson com n=5 pontos).

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