Sabendo que o mdc (n, 54)=mdc(n, 126)=6, calcular o inteiro n.

Passo 1

O enunciado exige encontrar o inteiro n tal que
gcd(n,54)=6 e gcd(n,126)=6
O conteúdo envolvido é a propriedade de que, se gcd(n,a)=d, então dmid n e gcd(n/d,a/d)=1.

Passo 2

Da condição gcd(n,54)=6 segue que 6mid n e
gcdl(n/6,;54/6r) =gcdl(n/6,;9r) =1
Logo podemos escrever
n=6k,
onde gcd(k,9)=1, isto é, k não pode ter fator 3.

Passo 3

Da condição gcd(n,126)=6 segue também que 6mid n e
gcdl(n/6,;126/6r) =gcdl(k,;21r) =1
Portanto, além de não ser múltiplo de 3, k também não pode ser múltiplo de 7.

Passo 4

Reunindo as duas exigências:
gcd(k,9)=1 e gcd(k,21)=1
Mas gcd(k,21)=1 já garante gcd(k,3)=1, então a única condição que resta é
gcd(k,21)=1
Assim o conjunto de soluções é
n=6k, kinZ, gcd(k,21)=1

Resposta

n=6k, com kinZ e gcd(k,21)=1.

Exercícios de Livros Relacionados