Sabendo que a e b são números reais e positivos, resolva as equações:
raiza+raizx-braizb+raizx-a=raizab

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
raiza + raizx - braizb + raizx - a = raizab,
sabendo que a e b são reais positivos. Precisamos observar o domínio: para os radicais fazerem sentido, é necessário
x - b >= 0 e x - a >= 0,
ou seja,
x >= maxa,b

Passo 2

Como raizb+raizx-a>0, podemos multiplicar ambos os lados da equação por esse termo e obter
raiza + raizx - b = raizab;l(raizb + raizx - ar)
Note que
raizab;raizb = raiza, então o lado direito fica
raiza + raizab;raizx - a

Passo 3

Subtraímos raiza de ambos os lados para isolar os termos com x:
raizx - b = raizab;raizx - a

Passo 4

Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
x - b = ab,(x - a)
Multiplicando por b,
b(x - b) = a(x - a) Longrightarrow b x - b^2 = a x - a^2 Longrightarrow x(b - a) = (b - a)(b + a)

Passo 5

Desta equação linear em x surgem dois casos:
  1. Se b neq a, podemos dividir por (b - a) e obtemos
x = a + b
Verificamos que a+b >= maxa,b, então está no domínio.
  1. Se b = a, o fator (b - a) anula ambos os lados e a equação é identicamente satisfeita para qualquer x. Nesse caso a=b e a equação original fica
raiza + raizx - araiza + raizx - a = 1 = raizaa,
que vale para todo x>= a.

Resposta

Se aneq b, a única solução é
x = a + b
Se a = b, toda x>= a é solução.

Exercícios de Livros Relacionados