Sendo a e b números reais, resolva a equação:
raiza-x+raizb-x=raiza+b-2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
raiza - x + raizb - x = raiza + b - 2x
onde a e b são parâmetros reais. Vamos precisar:
  1. Determinar o domínio natural da equação (para que as raízes existam).
  2. Reduzir a equação a uma forma algébrica, usando a técnica de “colocar em evidência” ou quadrar.

Passo 2

Para que todas as raízes existam, precisamos ter
a - x >= 0, b - x >= 0, a + b - 2x >= 0
Isso equivale a
x <= a, x <= b, x <= a + b2
Em particular, a condição mais forte é
x <= min(a,b)

Passo 3

Defina
u = a - x, v = b - x
Então u>=0, v>=0 e u+v = a + b - 2x, e a equação vira
raizu + raizv = raizu + v

Passo 4

Quadrando os dois lados obtemos
u + v + 2raizu,v = u + v ;implies; 2raizu,v = 0 ;implies; u,v = 0
Logo, ou u = 0 ou v = 0.

Passo 5

Caso u = 0:
a - x = 0 ;Longrightarrow; x = a
Para ser solução válida, precisamos de x <= min(a,b), ou seja a <= b.
Caso v = 0:
b - x = 0 ;Longrightarrow; x = b
Aqui exige-se b <= a.
Em cada caso a terceira raiz também fica bem definida porque a+b-2x>=0 coincide com a mesma desigualdade.

Resposta

x = a, & se a <= b, b, & se b <= a,
ou, de forma mais compacta,
x = min(a,b)

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