(CM Santa Maria-2005) Uma caixa d’água possui uma tubulação que a alimenta e que a enche em x horas. Possui também um “ladräo” que a esvazia em x+5 horas. A caixa d’água, quando vazia, enche em 30 horas com a tubulaçäo
e o “ladrão” funcionando simultaneamente. Se a tubulação entupir e a caixa d’água estiver cheia, em quanto tempo ficará novamente vazia?
a) () 25 horas
b) () 15 horas
c) () 20 horas
d) () 30 horas

Passo 1

Resumindo o enunciado: há uma tubulação que enche a caixa em x horas e um “ladrão” que a esvazia em x+5 horas. Trabalhando juntos (enchendo e esvaziando), o tempo líquido para encher a caixa é de 30 horas. Vamos usar o conceito de vazões (taxas de trabalho) para modelar isso.

Passo 2

A vazão de enchimento da tubulação é \tfrac{1}{x} tanque por hora e a vazão de esvaziamento do ladrão é \tfrac{1}{x+5} tanque por hora. Quando atuam simultaneamente, a vazão líquida é
\frac{1}{x} \;-\;\frac{1}{x+5}.
Como esse conjunto enche um tanque em 30 horas, a equação é
\frac{1}{x} \;-\;\frac{1}{x+5} \;=\;\frac{1}{30}.

Passo 3

Colocando a diferença sobre um só denominador e igualando:
\frac{(x+5)-x}{x(x+5)} \;=\;\frac{1}{30} \quad\Longrightarrow\quad \frac{5}{x(x+5)} = \frac{1}{30}.
Fazendo a “regra de três”:
x(x+5)=150 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + 5x - 150 = 0.
A solução positiva dessa equação é
x = 10.

Passo 4

O tempo que o ladrão leva sozinho para esvaziar a caixa é x+5 horas. Substituindo x=10
x+5 = 10 + 5 = 15.

Resposta

15 horas.

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