Se a e b sāo números naturais primos entre si, prove que a^n, b^m também o são, para quaisquer n, m in I N.
Resolução: Vamos supor mdc (a^n, b^m) neq 1. Entāo a^n e b^m admitem um divisor primo comum p. Se n=1, então p mid a ; se n>1, então p mid a ou p mid a^n-1; por indução: p|a. Analogamente p|b. Absurdo.

Passo 1

O enunciado diz que a e b são números naturais tais que gcd(a,b)=1, e pede para provar que, para quaisquer n,minN, também vale
gcdl(a^n,b^mr)=1
O conteúdo é Teoria dos Números, usando o fato de que um divisor primo de uma potência divide a base.

Passo 2

Lema: se p é primo e pmid x^k com kinN, então pmid x.
Prova por indução em k:
  • Base ( k=1): trivial, pois pmid x^1 implica pmid x.
  • Passo indutivo: suponha válido para k-1. Se pmid x^k = xcdot x^k-1, pelo Lema de Euclides pmid x ou pmid x^k-1. No segundo caso, pela hipótese indutiva pmid x. Logo em todo caso pmid x.

Passo 3

Prova por absurdo: suponha gcd(a^n,b^m)neq1. Então existe primo p tal que pmid a^n e pmid b^m.
Pelo lema do Passo 2, pmid a e pmid b. Isso contradiz gcd(a,b)=1.

Passo 4

Como chegamos a um absurdo ao supor gcd(a^n,b^m)>1, concluímos que
gcdl(a^n,b^mr)=1,
ou seja, a^n e b^m são primos entre si.

Resposta

gcd(a^n,b^m)=1.

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