Prove que:
Um número perfeíto nunca é um quadrado perfeito.
Um número perfeíto nunca é um quadrado perfeito.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que nenhum número perfeito pode ser um quadrado perfeito. Lembrando que um inteiro
é perfeito se a soma dos seus divisores próprios é igual a
. Para resolver, vamos usar a função
(soma de todos os divisores de
), sua propriedade multiplicativa, e analisar a paridade de
quando
é quadrado.
Passo 2
Suponha, por contradição, que
seja um quadrado perfeito. Então existe
tal que
Na fatoração prima escrevemos
onde cada
é um primo ímpar e os expoentes
são pares. Como
é multiplicativa,
Para cada primo ímpar
,
soma de
termos ímpares, logo é ímpar. E
que também é ímpar. Portanto
é produto de ímpares, isto é, ímpar.
Passo 3
Por definição de número perfeito, a soma dos divisores próprios de
é
, ou seja
o que implica que
é par. Isso contradiz o resultado do Passo 2, em que vimos que
é ímpar sempre que
é quadrado.
Resposta
Não existe número perfeito que seja quadrado perfeito.