Prove que:
Um número perfeíto nunca é um quadrado perfeito.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que nenhum número perfeito pode ser um quadrado perfeito. Lembrando que um inteiro n é perfeito se a soma dos seus divisores próprios é igual a n. Para resolver, vamos usar a função sigma(n) (soma de todos os divisores de n), sua propriedade multiplicativa, e analisar a paridade de sigma(n) quando n é quadrado.

Passo 2

Suponha, por contradição, que n seja um quadrado perfeito. Então existe m tal que
n = m^2
Na fatoração prima escrevemos
n = 2^a prodi=1^k pi^2ei,
onde cada pi é um primo ímpar e os expoentes 2ei são pares. Como sigma é multiplicativa,
sigma(n) ;=;sigma(2^a),prodi=1^ksigmal(pi^2eir)
Para cada primo ímpar pi,
sigmal(pi^2eir) =1 + pi + pi^2 + cdots + pi^2ei,
soma de 2ei+1 termos ímpares, logo é ímpar. E
sigma(2^a) =1 + 2 + 2^2 + cdots + 2^a =2^,a+1-1,
que também é ímpar. Portanto sigma(n) é produto de ímpares, isto é, ímpar.

Passo 3

Por definição de número perfeito, a soma dos divisores próprios de n é n, ou seja
sigma(n) - n = n Longrightarrow sigma(n)=2n,
o que implica que sigma(n) é par. Isso contradiz o resultado do Passo 2, em que vimos que sigma(n) é ímpar sempre que n é quadrado.

Resposta

Não existe número perfeito que seja quadrado perfeito.

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