Se m=m m c(a, b), mostre que mdc (a+b, m)=m d c(a, b), sempre que a, b>0.
Resolução: Seja d=mdc(a, b). Como mdc (ad, bd)=1, então mdc (ad+bd, ad cdot bd)=1 (ver exemplo 11). Daí (propos. 3): mdc (a+b, a bd)=d. Ou seja:
mdc (a+b, m)=d= mdc (a, b)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados a,b>0 inteiros e
m = mmc(a,b),
temos
mdc(a+b,,m) ;=;mdc(a,b)
O que vamos usar: a definição de mmc(a,b)=tfraca,bmdc(a,b) e as propriedades básicas de mdc.

Passo 2

Defina
d = mdc(a,b)
Então podemos escrever a=d,a' e b=d,b' com mdc(a',b')=1.
Como
mmc(a,b)=a,bd
seguimos que
m ;=;d,a';cdot;d,b'd ;=;d,a',b'

Passo 3

Reescrevendo a quantidade que queremos, obtém-se
mdc(a+b,,m) =mdcl(d(a'+b'),,d,a',b'r)
Pela propriedade
mdc(d,x,,d,y)=d;mdc(x,y),
isso vira
mdc(a+b,,m) = d;mdcl(a'+b',,a',b'r)

Passo 4

Agora, como mdc(a',b')=1, qualquer primo p que divida a',b' divide a' ou b'. Se p também dividisse a'+b', levaria a pmid b' e pmid a' ao mesmo tempo, contradizendo mdc(a',b')=1. Logo
mdcl(a'+b',,a',b'r)=1

Passo 5

Substituindo no resultado do passo anterior, obtemos
mdc(a+b,,m) = d times 1 = d =mdc(a,b)

Resposta

mdc(a+b,,m)=mdc(a,b).

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