Se
, mostre que mdc
, sempre que
.
Resolução: Seja
. Como mdc
, então mdc
(ver exemplo 11). Daí (propos. 3): mdc
. Ou seja:
mdc
mdc
Resolução: Seja
mdc
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados
inteiros e
temos
O que vamos usar: a definição de
e as propriedades básicas de
.
Passo 2
Defina
Então podemos escrever
e
com
.
Como
Como
seguimos que
Passo 3
Reescrevendo a quantidade que queremos, obtém-se
Pela propriedade
isso vira
Passo 4
Agora, como
, qualquer primo
que divida
divide
ou
. Se
também dividisse
, levaria a
e
ao mesmo tempo, contradizendo
. Logo
Passo 5
Substituindo no resultado do passo anterior, obtemos