Se M(1,1), N(0,3) e P(-2,2) são os pontos médios dos lados A B, B C e C A, respectivamente, de um triângulo A B C, determine as coordenadas de A, B e C.

Passo 1

O enunciado dá os pontos médios
M(1,1) de AB,
N(0,3) de BC e
P(-2,2) de CA.
O conteúdo é a fórmula do ponto médio: se X(x1,y1) e Y(x2,y2) são extremos de um segmento, o ponto médio é
l(x1+x22,,y1+y22r)
Vamos usar isso para montar um sistema linear em xA,xB,xC e em yA,yB,yC.

Passo 2

Escrevendo as igualdades para as abscissas e multiplicando por 2, temos
xA + xB = 2cdot1 = 2,
xB + xC = 2cdot0 = 0,
xC + xA = 2cdot(-2) = -4
Denotemos estas equações por (1), (2) e (3).

Passo 3

Da (1) isolamos
xA = 2 - xB
Substituindo em (3):
xC + (2 - xB) = -4 ;Longrightarrow; xC - xB = -6
Agora somamos isso à (2) xB + xC = 0:
(xC - xB) + (xB + xC) = -6 + 0 ;Longrightarrow; 2xC = -6 ;Longrightarrow; xC = -3
Logo xB = -,xC = 3 e xA = 2 - xB = 2 - 3 = -1.

Passo 4

Para as ordenadas temos o sistema
yA + yB = 2cdot1 = 2,
yB + yC = 2cdot3 = 6,
yC + yA = 2cdot2 = 4
Da primeira isolamos yA = 2 - yB. Substituindo na terceira:
yC + (2 - yB) = 4 ;Longrightarrow; yC - yB = 2
Somando isso à segunda yB + yC = 6
2yC = 8 ;Longrightarrow; yC = 4
Então yB = 6 - yC = 2 e yA = 2 - yB = 0.

Resposta

A(-1,0), B(3,2), C(-3,4)

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