AD e BC são segmentos de uma mesma reta que têm o mesmo ponto médio. Demonstrar que \mathrm{AB}=\mathrm{CD} e \mathrm{AC}=\mathrm{BD}.

Passo 1

O enunciado diz que A,D,B,C são pontos numa mesma reta e que os segmentos \overline{AD} e \overline{BC} têm o mesmo ponto médio. Vamos usar coordenadas vetoriais para formalizar isso: sejam \vec A,\vec B,\vec C,\vec D os vetores de posição dos quatro pontos e \vec M o vetor do ponto médio comum.

Passo 2

Como \vec M é o ponto médio de \overline{AD} e também de \overline{BC}, temos
\vec M \;=\;\frac{\vec A+\vec D}{2} \quad\text{e}\quad \vec M \;=\;\frac{\vec B+\vec C}{2}.
Igualando as duas expressões chega-se a
\vec A + \vec D \;=\;\vec B + \vec C.

Passo 3

A partir de \vec A+\vec D=\vec B+\vec C fazemos subtrações para achar as diferenças vetoriais:
  1. Subtraindo \vec A e \vec C de cada lado:
\vec B - \vec A \;=\; \vec D - \vec C.
  1. Subtraindo \vec A e \vec B de cada lado:
\vec C - \vec A \;=\; \vec D - \vec B.

Passo 4

Lembremos que o comprimento de um segmento, digamos \overline{AB}, é a norma do vetor \overrightarrow{AB}=\vec B-\vec A.
  1. Da igualdade \vec B-\vec A=\vec D-\vec C segue
AB=\bigl\|\vec B-\vec A\bigr\| =\bigl\|\vec D-\vec C\bigr\| =CD.
  1. Da igualdade \vec C-\vec A=\vec D-\vec B segue
AC=\bigl\|\vec C-\vec A\bigr\| =\bigl\|\vec D-\vec B\bigr\| =BD.

Resposta

AB = CD e AC = BD.

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