\mathrm{O}, \mathrm{A}, \mathrm{B} e C são quatro pontos de uma reta, sucedendo-se na ordem OABC , e tais que \mathrm{OA}=3 \mathrm{cm}, \mathrm{OB}=5 \mathrm{~cm}, 4 \mathrm{AB}+\mathrm{AC}-2 \mathrm{BC}=6 \mathrm{~cm}. Calcular a distância entre os pontos O e C .

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos colineares O, A, B, C dispostos na ordem OABC, com \mathrm{OA}=3 cm e \mathrm{OB}=5 cm, e a relação
4\,\mathrm{AB}+\mathrm{AC}-2\,\mathrm{BC}=6\text{ cm}.
Queremos encontrar \mathrm{OC}. Vamos usar um sistema de coordenadas unidimensional ao longo da reta.

Passo 2

Colocamos O na origem x=0. Então
\displaystyle x_A=3,
\displaystyle x_B=5,
e seja \displaystyle x_C=x com x>5.
Daí
\displaystyle \mathrm{AB}=x_B-x_A=5-3=2,
\displaystyle \mathrm{AC}=x_C-x_A=x-3,
\displaystyle \mathrm{BC}=x_C-x_B=x-5.

Passo 3

Substituindo esses valores na relação
4\,\mathrm{AB}+\mathrm{AC}-2\,\mathrm{BC}=6
temos
4\cdot2 + (x-3) - 2(x-5) = 6.

Passo 4

Agora simplificamos e resolvemos para x:
8 + x - 3 - 2x + 10 = 6
15 - x = 6
x = 15 - 6 = 9.

Resposta

\mathrm{OC}=9 cm.

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