Qual das seguintes alternativas não pode ser o número de soluções de um sistema de duas equações com duas variáveis, cujos gráficos são parábolas?
(a) 1
(b) 2
(c) 4
(d) 5
(e) Infinitas
(a) 1
(b) 2
(c) 4
(d) 5
(e) Infinitas
Passo 1
O enunciado pede o número de soluções (pontos de interseção) de um sistema de duas equações em
cujos gráficos são parábolas no plano. O assunto envolve curvas cônicas e cálculo de interseções entre duas parábolas.
Passo 2
Cada parábola é dada por uma equação polinomial de grau 2 em
e
. Se eliminarmos, por exemplo,
entre as duas equações, obtemos um polinômio em
cujo grau máximo é
Isso significa que o número de raízes reais distintas (ou seja, de pontos de interseção) satisfaz
Passo 3
Para obter infinitas soluções é preciso que as duas equações definam exatamente a mesma parábola, fazendo com que todos os seus pontos coincidam. Nesse caso
Passo 4
Das quantidades listadas —
,
,
,
e
— as possíveis são
,
,
e
. O valor
ultrapassa o máximo de
interseções para duas parábolas distintas.
Resposta
(d) 5