Nas seguintes funções em , determine a função inversa.
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x)= 5-3x, & x>= -1, 4-4x, & x< -1,
definida em R, e pede a função inversa f^-1. Vamos usar que cada ramo é linear e estritamente decrescente, achar a imagem de cada ramo e em seguida inverter cada expressão.
Passo 2
Analisando o ramo f1(x)=5-3x em x>= -1:
– Em x=-1 temos f1(-1)=5-3(-1)=8.
– Quando xto+infty, f1(x)to -infty.
Logo a imagem de f1 é (-infty,8].
Analisando o ramo f2(x)=4-4x em x< -1:
– Quando xto -1^-, f2(x)to 4-4(-1)=8.
– Quando xto -infty, f2(x)to +infty.
Logo a imagem de f2 é (8,+infty).
Como as imagens se encaixam em R e cada ramo é injetor, f é bijetora e podemos inverter separadamente em cada intervalo de valores.
Passo 3
Para o primeiro ramo, seja y=5-3x com y<= 8. Isolando x: