Nas seguintes funções em R, determine a função inversa.
f(x)=l5-3 x se x >=-1 4-4 x se x<-1

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= 5-3x, & x>= -1, 4-4x, & x< -1,
definida em R, e pede a função inversa f^-1. Vamos usar que cada ramo é linear e estritamente decrescente, achar a imagem de cada ramo e em seguida inverter cada expressão.

Passo 2

Analisando o ramo f1(x)=5-3x em x>= -1:
– Em x=-1 temos f1(-1)=5-3(-1)=8.
– Quando xto+infty, f1(x)to -infty.
Logo a imagem de f1 é (-infty,8].
Analisando o ramo f2(x)=4-4x em x< -1:
– Quando xto -1^-, f2(x)to 4-4(-1)=8.
– Quando xto -infty, f2(x)to +infty.
Logo a imagem de f2 é (8,+infty).
Como as imagens se encaixam em R e cada ramo é injetor, f é bijetora e podemos inverter separadamente em cada intervalo de valores.

Passo 3

Para o primeiro ramo, seja y=5-3x com y<= 8. Isolando x:
y=5-3x Longrightarrow 3x=5-y Longrightarrow x=5-y3

Passo 4

Para o segundo ramo, seja y=4-4x com y>8. Isolando x:
y=4-4x Longrightarrow 4x=4-y Longrightarrow x=4-y4

Passo 5

Reescrevendo em notação de função inversa, trocando o papel de y por x:
f^-1(x)= 5-x3, & x<= 8,[1em] 4-x4, & x>8 ]

Resposta

f^-1(x)= 5-x3, & x<= 8, 4-x4, & x>8

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