(UF-MS) A seguir foram feitas afirmações sobre geometria espacial, assinale a(s) correta(s). (001) Toda reta paralela a dois planos, não paralelos, é paralela à interseção deles.
(002) Toda reta que contém dois pontos de um plano pertence a esse plano.
(004) A partir de quatro pontos não coplanares, são definidos exatamente quatro planos distintos.
(008) Três retas concorrentes num único ponto definem um único plano.
(016) Toda reta perpendicular a duas retas não paralelas pertence ao plano definido por essas duas retas não paralelas.
(002) Toda reta que contém dois pontos de um plano pertence a esse plano.
(004) A partir de quatro pontos não coplanares, são definidos exatamente quatro planos distintos.
(008) Três retas concorrentes num único ponto definem um único plano.
(016) Toda reta perpendicular a duas retas não paralelas pertence ao plano definido por essas duas retas não paralelas.
Passo 1
O enunciado apresenta cinco afirmações de geometria espacial e pede para identificar quais são verdadeiras. Vamos usar propriedades de paralelismo, de plano determinado por pontos ou por retas, e de perpendicularidade em espaço.
Passo 2
Analisando a afirmação (001): “Toda reta paralela a dois planos, não paralelos, é paralela à interseção deles.”
Se uma reta é paralela aos planos
e
cujas normais são
e
, então o vetor diretor
de
satisfaz
e
. A interseção
é a reta de direção
. Como
é ortogonal a ambos
e
, temos
, logo
. Portanto, (001) é verdadeira.
Se uma reta
Passo 3
Analisando a afirmação (002): “Toda reta que contém dois pontos de um plano pertence a esse plano.”
Isso decorre do fato de que um plano é determinado por qualquer par de pontos mais um vetor normal; portanto, se uma reta passa por dois pontos de um plano
, ela não pode sair de
. Logo, (002) é verdadeira.
Isso decorre do fato de que um plano é determinado por qualquer par de pontos mais um vetor normal; portanto, se uma reta
Passo 4
Analisando a afirmação (004): “A partir de quatro pontos não coplanares, são definidos exatamente quatro planos distintos.”
Quatro pontos não coplanares formam um tetraedro e cada tripla desses pontos determina um plano. Há triplas distintas, e como nenhum conjunto de três pontos é colinear ou todos quatro no mesmo plano, obtém-se exatamente quatro planos. Assim, (004) é verdadeira.
Quatro pontos não coplanares formam um tetraedro e cada tripla desses pontos determina um plano. Há
Passo 5
Analisando a afirmação (008): “Três retas concorrentes num único ponto definem um único plano.”
Duas retas concorrentes definem um plano, mas a terceira reta, mesmo passando pelo mesmo ponto, pode ter direção fora daquele plano, impedindo a existência de um único plano que contenha todas as três. Logo, (008) é falsa.
Duas retas concorrentes definem um plano, mas a terceira reta, mesmo passando pelo mesmo ponto, pode ter direção fora daquele plano, impedindo a existência de um único plano que contenha todas as três. Logo, (008) é falsa.
Passo 6
Analisando a afirmação (016): “Toda reta perpendicular a duas retas não paralelas pertence ao plano definido por essas duas retas não paralelas.”
Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes
e
que definem o plano
, então
é, na verdade, perpendicular a
e não contido em
. Portanto, (016) é falsa.
Se uma reta
Passo 7
As únicas afirmações verdadeiras são (001), (002) e (004).
Resposta
As afirmações corretas são
,
e
.