Seja q=100-6 x+2 y a equação de demanda de um produto l, x seu preço unitário e y o preço unitário de um produto II.
a) Calcule as demandas marginais parciais partial qpartial x e partial qpartial y, explicando seu significado.
b) O que aumenta mais a demanda de I: diminuir em uma unidade seu preço unitário (mantendo o preço de II) ou aumentar em uma unidade o preço de II (mantendo o do produto I).

Passo 1

O enunciado fornece a função de demanda de um produto I em função de seu preço unitário x e do preço unitário de um produto II, y:
q(x,y)=100-6x+2y
O conteúdo aqui é derivada parcial, que nos dá a variação instantânea de q quando uma variável muda e a outra fica fixa. Precisamos calcular partial qpartial x e partial qpartial y e depois comparar o impacto de diminuir x em uma unidade ou aumentar y em uma unidade sobre q.

Passo 2

Para achar partial qpartial x, tratamos y como constante e derivamos q em relação a x. Na expressão
q(x,y)=100-6x+2y,
o único termo que depende de x é -6x. Logo,
partial qpartial x=-6
Isso significa que, mantendo y fixo, um aumento de 1 unidade em x reduz a demanda q em 6 unidades. É o efeito marginal do preço de I sobre sua demanda.

Passo 3

Para achar partial qpartial y, agora tratamos x como constante e derivamos em relação a y. Na expressão
q(x,y)=100-6x+2y,
o único termo que depende de y é +2y. Logo,
partial qpartial y=2
Isso quer dizer que, mantendo x fixo, um aumento de 1 unidade em y eleva a demanda q em 2 unidades. É o efeito marginal do preço do produto II sobre a demanda de I.

Passo 4

Para decidir o que aumenta mais a demanda de I, comparamos os efeitos:
  • Se diminuirmos x em 1 unidade (e mantivermos y), o aumento de q será -6times(-1)=6 unidades.
  • Se aumentarmos y em 1 unidade (e mantivermos x), o aumento de q será 2times1=2 unidades.

Resposta

a) partial qpartial x=-6 e partial qpartial y=2.
b) Diminuir o preço x em uma unidade aumenta a demanda em 6 unidades, enquanto aumentar y em uma unidade só aumenta em 2 unidades. Portanto, diminuir o preço de I é mais eficaz.

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