1. Seja \alpha um real dado, com \alpha não natural. Prove que a série
\sum_{n=1}^{+\infty}\left|\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2) \ldots(\alpha-n+1)}{n!}\right|
é convergente para \alpha>0 e divergente para \alpha<0.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série cuja n-ésima parcela em valor absoluto é
a_{n} = \left|\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\right|.
Isso equivale a a_{n}=|\binom{\alpha}{n}|. O conteúdo que vamos usar é um teste de convergência forte para séries positivas: o Critério de Raabe (uma extensão do teste da razão).

Passo 2

Recordando o Critério de Raabe: dadas parcelas positivas a_{n}, defina
R_{n} \;=\; n\Bigl(\frac{a_{n}}{a_{n+1}} - 1\Bigr).
Se \lim_{n\to\infty}R_{n}=L>1, a série \sum a_{n} converge. Se \lim_{n\to\infty}R_{n}=L<1, diverge. Se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{\bigl|\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n)\bigr|/(n+1)!} {\bigl|\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)\bigr|/n!} =\frac{|\alpha-n|}{n+1} =\frac{n-\alpha}{n+1},
pois n-\alpha>0 para n grande, seja \alpha>0 ou \alpha<0.

Passo 4

Invertendo e aplicando Raabe:
\frac{a_{n}}{a_{n+1}} =\frac{n+1}{\,n-\alpha\,}, \quad R_{n} = n\Bigl(\frac{n+1}{n-\alpha}-1\Bigr) = n\cdot\frac{(n+1)-(n-\alpha)}{n-\alpha} = n\cdot\frac{1+\alpha}{n-\alpha}.
Tomando o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}R_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{(1+\alpha)\,n}{n-\alpha} =1+\alpha.

Passo 5

Do Critério de Raabe, temos:
  • Se 1+\alpha>1, isto é, \alpha>0, então L=1+\alpha>1 e a série converge.
  • Se 1+\alpha<1, isto é, \alpha<0, então L=1+\alpha<1 e a série diverge.

Resposta

Para \alpha>0 a série converge, e para \alpha<0 a série diverge.

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