Seja A o conjunto solução, em R, da inequação (x^2-5 x) cdot(x^2-8 x+12)<0. Determine A.

Passo 1

O enunciado pede o conjunto
A=xinRmid (x^2-5x),(x^2-8x+12)<0
Este é um problema de inequação polinomial: vamos fatorar cada expressão, achar as raízes e fazer um estudo de sinais ao longo da reta real.

Passo 2

Fatorando os dois fatores temos
x^2-5x = x(x-5),
x^2-8x+12 = (x-2)(x-6)
Logo a inequação vira
x(x-5)(x-2)(x-6)<0
As raízes (onde o produto se anula) são
x=0, x=2, x=5, x=6

Passo 3

Ordenamos as raízes e dividimos a reta em cinco intervalos:
(-infty,0),;(0,2),;(2,5),;(5,6),;(6,infty)
Em cada intervalo avaliamos o sinal de cada fator:
  • Se x<0: ,x<0,;x-5<0,;x-2<0,;x-6<0 Rightarrow quatro fatores negativos Rightarrow produto positivo.
  • Se 0<x<2: ,x>0,;x-5<0,;x-2<0,;x-6<0 Rightarrow três negativos + um positivo Rightarrow produto negativo.
  • Se 2<x<5: ,x>0,;x-5<0,;x-2>0,;x-6<0 Rightarrow dois negativos + dois positivos Rightarrow produto positivo.
  • Se 5<x<6: ,x>0,;x-5>0,;x-2>0,;x-6<0 Rightarrow um negativo + três positivos Rightarrow produto negativo.
  • Se x>6: todos os fatores são positivos Rightarrow produto positivo.

Passo 4

Como queremos
x(x-5)(x-2)(x-6)<0,
selecionamos os intervalos onde o produto é negativo, ou seja
0<x<2 e 5<x<6

Resposta

A = (0,2);cup;(5,6)

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