Construa o gráfico cartesiano das funções definidas em R :
f) y=3 x^2-4 x+2

Passo 1

O enunciado pede para construirmos o gráfico cartesiano da função
fcolon RtoR, f(x)=3x^2-4x+2
Para esboçar esse gráfico, vamos usar os conceitos de concavidade de parábola, vértice, eixo de simetria, interceptações e pontos simétricos.

Passo 2

Identificamos o coeficiente de x^2:
a=3>0.
Isso significa que a parábola abre para cima (concavidade para cima).

Passo 3

Calculamos o vértice usando
xv=-b2a=--42cdot3=23,
e
yv=fl(tfrac23r) =3l(tfrac23r)^2-4l(tfrac23r)+2 =23
Logo, o vértice é l(tfrac23,tfrac23r).

Passo 4

O eixo de simetria é a reta
x=23
A intersecção com o eixo y ocorre em x=0, então
f(0)=2,
isto é, o ponto (0,2).

Passo 5

O discriminante é
De<a=b^2-4ac=(-4)^2-4cdot3cdot2=16-24=-8<0
Como De<a<0, não há raízes reais e a parábola não cruza o eixo x.

Passo 6

Para desenhar com mais precisão, escolhemos pontos simétricos em relação ao vértice. A distância horizontal de tfrac13 em torno do vértice dá
x=23pm13;Rightarrow;x=13,1,
e
fl(tfrac13r)=f(1)=1,
resultando nos pontos l(tfrac13,1r) e (1,1). Outra distância de tfrac23 gera
x=0 e x=43, f(0)=fl(tfrac43r)=2,
isto é, (0,2) e l(tfrac43,2r).

Passo 7

Com o vértice l(tfrac23,tfrac23r), o eixo x=tfrac23, o ponto de intersecção (0,2) e os pares simétricos l(tfrac13,1r), (1,1), l(tfrac43,2r), traçamos uma curva suave que abre para cima.

Resposta

O gráfico de y=3x^2-4x+2 é uma parábola com concavidade para cima, vértice em l(tfrac23,tfrac23r), eixo de simetria x=tfrac23, sem interceptos reais no eixo x e intercepto em y no ponto (0,2). O esboço passa também pelos pontos l(tfrac13,1r), (1,1) e l(tfrac43,2r).

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