Determine m na equação m x^2-2(m-1) x+m=0 para que se tenha x1x2+x2x1=4, em que x1 e x2 são as raízes da equação.

Passo 1

O enunciado pede para determinar m na equação
m x^2 - 2(m-1)x + m = 0
de modo que, para as raízes x1,x2, valha
x1x2 + x2x1 = 4
O conteúdo principal é usar as relações de Viète (soma e produto das raízes) e reescrever a condição em termos dessas quantidades.

Passo 2

Começamos transformando
x1x2 + x2x1 = x1^2 + x2^2x1x2 = (x1 + x2)^2 - 2,x1x2x1x2
Impondo que seja igual a 4, temos
(x1 + x2)^2x1x2 - 2 = 4 Longrightarrow (x1 + x2)^2x1x2 = 6

Passo 3

Pela equação m x^2 - 2(m-1)x + m=0, as relações de Viète dão
x1 + x2 = -ba = --2(m-1)m = 2(m-1)m,
x1x2 = ca = mm = 1
Substituindo em tfrac(x1+x2)^2x1x2=6 resulta
gl(2(m-1)mgr)^2 = 6 Longrightarrow 4,(m-1)^2 = 6,m^2

Passo 4

Resolvendo
4(m-1)^2 = 6m^2
4(m^2-2m+1) = 6m^2
4m^2 -8m +4 -6m^2 = 0
-2m^2 -8m +4 = 0 Longrightarrow 2m^2 +8m -4 = 0
m^2 +4m -2 = 0
pela fórmula de Bhaskara,
m = -4 pm raiz16 + 82 = -4 pm raiz242 = -2 pm raiz6

Resposta

m = -2 + raiz6 ou m = -2 - raiz6.

Exercícios de Livros Relacionados