[04] Seja F: R^2 R definida por z=F(x, y)=x cdot y.
(a) Mostre que o ponto p=(1,1) pertence à curva de nível
F1=(x, y) in R^2 mid F(x, y)=1
de F associada ao nível z=1.
(b) Mostre que p=(1,1) é um ponto regular da função F.
(c) Encontre a equação da reta tangente r a curva de nível F1 no ponto p=(1,1).
(d) Faça um esboço do desenho de F1, r e nabla F(1,1).

Passo 1

O enunciado define a função
FcolonR^2toR, F(x,y)=xcdot y
e pede:
(a) verificar que p=(1,1) pertence à curva de nível F1=(x,y)mid F(x,y)=1;
(b) mostrar que p é ponto regular de F;
(c) encontrar a reta tangente à curva F1 em p;
(d) esboçar F1, essa reta e o vetor nabla F(1,1).
Conteúdos usados: curvas de nível, gradiente, reta tangente a curva de nível.

Passo 2

Para (a), basta verificar que
F(1,1)=1cdot1=1,
logo (1,1) satisfaz F(x,y)=1 e pertence a F1.

Passo 3

Para (b), calculamos o gradiente
nabla F(x,y)=l(partial Fpartial x,partial Fpartial yr)=(y,;x)
Em p=(1,1) tem-se
nabla F(1,1)=(1,1)neq(0,0),
logo o ponto é regular.

Passo 4

Para (c), a reta tangente a uma curva de nível F(x,y)=1 em p satisfaz
nabla F(1,1)cdotl((x,y)-(1,1)r)=0,
isto é
(1,1)cdot(x-1,;y-1)=0 ;Longrightarrow; (x-1)+(y-1)=0 ;Longrightarrow; x+y=2
Assim, a reta tangente é x+y=2 (ou y=2-x).

Passo 5

Para (d), a curva F1colon xy=1 é uma hipérbole com ramo em QI e outro em QIII. No ponto (1,1) desenhamos:
  • a hipérbole passando por (1,1);
  • a reta tangente x+y=2 de inclinação -1;
  • o vetor gradiente nabla F(1,1)=(1,1) partindo de (1,1) apontando para nordeste e perpendicular à reta.

Resposta

(a) ,F(1,1)=1, logo (1,1)inF1.
(b) ,nabla F(1,1)=(1,1)neq(0,0), logo (1,1) é regular.
(c) Reta tangente: x+y=2.
(d) A hipérbole xy=1 com ramo em QI, reta x+y=2 tangente em (1,1) e vetor gradiente (1,1) perpendicular à reta, conforme esboço.

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