[04] Seja
definida por
.
(a) Mostre que o ponto
pertence à curva de nível
de
associada ao nível
.
(b) Mostre que
é um ponto regular da função
.
(c) Encontre a equação da reta tangente
a curva de nível
no ponto
.
(d) Faça um esboço do desenho de
e
.
(a) Mostre que o ponto
(b) Mostre que
(c) Encontre a equação da reta tangente
(d) Faça um esboço do desenho de
Passo 1
O enunciado define a função
e pede:
(a) verificar que pertence à curva de nível
;
(b) mostrar que é ponto regular de
;
(c) encontrar a reta tangente à curva em
;
(d) esboçar , essa reta e o vetor
.
Conteúdos usados: curvas de nível, gradiente, reta tangente a curva de nível.
(a) verificar que
(b) mostrar que
(c) encontrar a reta tangente à curva
(d) esboçar
Conteúdos usados: curvas de nível, gradiente, reta tangente a curva de nível.
Passo 2
Para (a), basta verificar que
logo
satisfaz
e pertence a
.
Passo 3
Para (b), calculamos o gradiente
Em
tem-se
,
logo o ponto é regular.
logo o ponto é regular.
Passo 4
Para (c), a reta tangente a uma curva de nível
em
satisfaz
isto é
Assim, a reta tangente é
(ou
).
Passo 5
Para (d), a curva
é uma hipérbole com ramo em QI e outro em QIII. No ponto
desenhamos:
- a hipérbole passando por
; - a reta tangente
de inclinação ; - o vetor gradiente
partindo de apontando para nordeste e perpendicular à reta.
Resposta
(a)
, logo
.
(b) , logo
é regular.
(c) Reta tangente: .
(d) A hipérbole com ramo em QI, reta
tangente em
e vetor gradiente
perpendicular à reta, conforme esboço.
(b)
(c) Reta tangente:
(d) A hipérbole