Sejam as funções reais f e g, definidas por f(x)=x^2+4 x-5 e g(x)=2 x-3.
a) Obtenha as leis que definem f circ g e g circ f.
b) Calcule (f circ g)(2) e (g circ f)(2).
c) Determine os valores do domínio da função f circ g que produzem imagem 16.

Passo 1

O enunciado nos dá as funções
f(x)=x^2+4x-5
e
g(x)=2x-3
e pede:
a) as leis de composição (fcirc g) e (gcirc f);
b) os valores de (fcirc g)(2) e (gcirc f)(2);
c) os valores de x em que (fcirc g)(x)=16.
O conteúdo aqui é composição de funções, avaliação de composições e resolução de equação quadrática.

Passo 2

Para achar (fcirc g)(x) substituímos g(x) em f:
(fcirc g)(x) = fl(2x-3r) = (2x-3)^2 + 4(2x-3) - 5
Expandindo:
(2x-3)^2=4x^2-12x+9, 4(2x-3)=8x-12,
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(fcirc g)(x) =4x^2-12x+9 +8x-12 -5 =4x^2-4x-8

Passo 3

Para achar (gcirc f)(x) substituímos f(x) em g:
(gcirc f)(x) = gl(x^2+4x-5r) =2l(x^2+4x-5r)-3 =2x^2+8x-10 -3 =2x^2+8x-13

Passo 4

Calculamos os valores em x=2:
Primeiro (fcirc g)(2):
g(2)=2cdot 2-3=1, f(g(2))=f(1)=1^2+4cdot1-5=0
Então (fcirc g)(2)=0.
Agora (gcirc f)(2):
f(2)=2^2+4cdot2-5=7, g(f(2))=g(7)=2cdot7-3=11
Então (gcirc f)(2)=11.

Passo 5

Para achar os x tais que (fcirc g)(x)=16, resolvemos
4x^2-4x-8=16 Longrightarrow 4x^2-4x-24=0 Longrightarrow x^2-x-6=0
Pela fórmula de Bhaskara:
x = 1pmraiz1+242 = 1pm52,
resultando em
x=3 ou x=-2

Resposta

a) (fcirc g)(x)=4x^2-4x-8 e (gcirc f)(x)=2x^2+8x-13.
b) (fcirc g)(2)=0 e (gcirc f)(2)=11.
c) Os valores de x são 3 e -2.

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