Seja uma função real uniformemente contínua em um conjunto limitado em . Prove que é limitada em .
Mostre que a conclusão 6 falsa se a hipótese de ser limitado fôr omitida.
Passo 1
Seja uniformemente contínua, com limitado. Usaremos a definição de uniformemente contínua para obter um e o fato de que em todo conjunto limitado é totalmente limitado, ou seja, pode ser coberto por um número finito de bolas de raio . O objetivo é mostrar que existe tal que
isto é, que é limitada em .
Passo 2
Pela uniformidade, escolha . Então existe tal que, para quaisquer ,
Passo 3
Como é limitado em , segue que é totalmente limitado. Logo existem pontos
tais que
onde .
Passo 4
Seja . Então escolhemos com . Da uniformidade segue
Passo 5
Defina
Então, para todo xin E,
|f(x)|<= max1<= k<= n|f(xk)| +1 = M,
o que mostra que f é limitada em E.
Passo 6
Se E não for limitado, a conclusão pode falhar. Por exemplo, a função
fcolon RtoR, f(x)=x
é Lipschitz (constante 1) e portanto uniformemente contínua em R, mas não é limitada em R. Assim, a hipótese de E ser limitado é essencial.
Resposta
Fica provado que toda função real uniformemente contínua em EsubsetR^l limitado é limitada em E, e o exemplo f(x)=x em E=R mostra que, sem a limitação de E, a conclusão deixa de ser verdadeira.
Cálculo - Walter Rudin - Princípios de Análise Matemática - 2ª Edição - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 3