Seja f uma função real uniformemente contínua em um conjunto limitado E em R^l. Prove que f é limitada em E.
Mostre que a conclusão 6 falsa se a hipótese de E ser limitado fôr omitida.

Passo 1

Seja fcolon EtoR uniformemente contínua, com EsubsetR^l limitado. Usaremos a definição de uniformemente contínua para obter um de<a>0 e o fato de que em R^l todo conjunto limitado é totalmente limitado, ou seja, pode ser coberto por um número finito de bolas de raio de<a. O objetivo é mostrar que existe M>0 tal que
|f(x)|<= M para todo xin E,
isto é, que f é limitada em E.

Passo 2

Pela uniformidade, escolha varepsilon=1. Então existe de<a>0 tal que, para quaisquer x,yin E,
|x-y|<de<a ;Longrightarrow; |f(x)-f(y)|<1

Passo 3

Como E é limitado em R^l, segue que E é totalmente limitado. Logo existem pontos
x1,x2,dots,xnin E
tais que
E ;subset; cupk=1^n B(xk,de<a),
onde B(xk,de<a)=xinR^l:|x-xk|<de<a.

Passo 4

Seja xin E. Então escolhemos kin1,dots,n com |x-xk|<de<a. Da uniformidade segue
|f(x)-f(xk)|<1 Longrightarrow |f(x)|<= |f(xk)|+1

Passo 5

Defina
M=max1<= k<= nl|f(xk)r| ;+;1
Então, para todo xin E,
|f(x)|<= max1<= k<= n|f(xk)| +1 = M,
o que mostra que f é limitada em E.

Passo 6

Se E não for limitado, a conclusão pode falhar. Por exemplo, a função
fcolon RtoR, f(x)=x
é Lipschitz (constante 1) e portanto uniformemente contínua em R, mas não é limitada em R. Assim, a hipótese de E ser limitado é essencial.

Resposta

Fica provado que toda função real uniformemente contínua em EsubsetR^l limitado é limitada em E, e o exemplo f(x)=x em E=R mostra que, sem a limitação de E, a conclusão deixa de ser verdadeira.

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