(ITA-SP) Considere um triângulo isósceles ABC, retângulo em B. Sobre o lado , considere, a partir de B , os pontos D e E, tais que os comprimentos dos segmentos BC, BD, DE, EC, nesta ordem, formem uma progressão geométrica decrescente. Se beta for o ângulo E A D, determine tg beta em função da razão r da progressão.
Passo 1
O enunciado trata de um triângulo ABC isósceles, reto em B, isto é, ang<= ABC=90^circ e AB=BC. Sobre o segmento BC escolhemos, a partir de B, os pontos D e E tais que os comprimentos
BC,;BD,;DE,;EC
formam, nessa ordem, uma progressão geométrica decrescente de razão r. Precisamos encontrar tanbeta, onde beta=ang<= Ehat AD.
Passo 2
Para simplificar, posicionamos B na origem de um sistema cartesiano, C no eixo x e A no eixo y, com
B=(0,0), C=(c,0), A=(0,c),
sendo c=BC=AB. Como
BD=cr, DE=cr^2, EC=cr^3,
os pontos ficam
D=(cr,0), E=l(cr + cr^2,,0r)=l(c(r+r^2),0r)
Passo 3
Como D e E estão entre B e C, vale
BD+DE+EC=BC Longrightarrow cr + cr^2 + cr^3 = c Longrightarrow r + r^2 + r^3 = 1
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo Questões de vestibulares.Questões de vestibulares - Ex. 143