(ITA-SP) Considere um triângulo isósceles ABC, retângulo em B. Sobre o lado BC, considere, a partir de B , os pontos D e E, tais que os comprimentos dos segmentos BC, BD, DE, EC, nesta ordem, formem uma progressão geométrica decrescente. Se beta for o ângulo E A D, determine tg beta em função da razão r da progressão.

Passo 1

O enunciado trata de um triângulo ABC isósceles, reto em B, isto é, ang<= ABC=90^circ e AB=BC. Sobre o segmento BC escolhemos, a partir de B, os pontos D e E tais que os comprimentos
BC,;BD,;DE,;EC
formam, nessa ordem, uma progressão geométrica decrescente de razão r. Precisamos encontrar tanbeta, onde beta=ang<= Ehat AD.

Passo 2

Para simplificar, posicionamos B na origem de um sistema cartesiano, C no eixo x e A no eixo y, com
B=(0,0), C=(c,0), A=(0,c),
sendo c=BC=AB. Como
BD=cr, DE=cr^2, EC=cr^3,
os pontos ficam
D=(cr,0), E=l(cr + cr^2,,0r)=l(c(r+r^2),0r)

Passo 3

Como D e E estão entre B e C, vale
BD+DE+EC=BC Longrightarrow cr + cr^2 + cr^3 = c Longrightarrow r + r^2 + r^3 = 1

Passo 4

O vetor AD é
AD=D-A=(cr,,-c),
e o vetor AE é
AE=E-A=l(c(r+r^2),,-cr)
Recordando que, para dois vetores u e v,
tantheta = |det( u, v)| ucdot v,
calculamos
det(AD,AE) =cr & c(r+r^2)-c&-c =c^2l(-r + (r+r^2)r)=c^2r^2,
ADcdot AE =crcdot c(r+r^2) + (-c)(-c) =c^2l(r^2+r^3+1r)
Logo
tanbeta =c^2r^2c^2l(1+r^2+r^3r) =r^21+r^2+r^3

Passo 5

Usando r+r^2+r^3=1 obtemos
1+r^2+r^3 = 1 + (1 - r) = 2 - r,
de modo que a forma mais simples é
tanbeta = r^22 - r

Resposta

tanbeta = r^21 + r^2 + r^3 ou, usando r+r^2+r^3=1, tanbeta = r^22 - r

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