1. Seja a_{k}, k \geqslant 0, uma sequência de termos estritamente positivos tal que
\lim _{k \rightarrow+\infty} k\left(1-\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right)=L, \operatorname{com} L>0
a) Prove que existe um natural m tal que \sum_{k=0}^{+\infty} a_{k}^{m} é convergente.
b) Conclua que \lim _{k \rightarrow+\infty} a_{k}=0.

Passo 1

O enunciado fornece uma sequência de termos estritamente positivos (a_k)_{k\ge0} que satisfaz
\lim_{k\to+\infty}k\Bigl(1-\frac{a_{k+1}}{a_k}\Bigr)=L,\quad L>0.
Pede-se:
a) mostrar que existe inteiro m tal que \sum_{k=0}^{+\infty}a_k^m converge;
b) deduzir que \lim_{k\to+\infty}a_k=0.
O conteúdo principal é o critério de Gauss para séries positivas, que afirma que se para b_k>0 existe
\displaystyle\lim_{k\to\infty}k\bigl(1-\frac{b_{k+1}}{b_k}\bigr)=G com G>1, então \sum b_k converge.

Passo 2

Definamos b_k = a_k^m para um m\in\mathbb{N}. Note que
\frac{b_{k+1}}{b_k} =\Bigl(\frac{a_{k+1}}{a_k}\Bigr)^m.
Como \lim_{k\to\infty}a_{k+1}/a_k=1 (decorrente de k(1-a_{k+1}/a_k)\to L finito), temos também
1 + \frac{a_{k+1}}{a_k} + \cdots + \Bigl(\frac{a_{k+1}}{a_k}\Bigr)^{m-1} \;\longrightarrow\;m.
Logo
1 - \Bigl(\frac{a_{k+1}}{a_k}\Bigr)^m =\bigl(1-\tfrac{a_{k+1}}{a_k}\bigr)\Bigl(1+\tfrac{a_{k+1}}{a_k}+\cdots+\tfrac{a_{k+1}^{\,m-1}}{a_k^{\,m-1}}\Bigr) \;\xrightarrow[k\to\infty]{}\;L\cdot m\,\frac1k.
Multiplicando por k, obtemos
\lim_{k\to\infty}k\Bigl(1-\frac{b_{k+1}}{b_k}\Bigr) =\lim_{k\to\infty}k\Bigl(1-(\tfrac{a_{k+1}}{a_k})^m\Bigr) = mL.

Passo 3

Pelo critério de Gauss, a série \sum b_k = \sum a_k^m converge sempre que
\lim_{k\to\infty}k\Bigl(1-\frac{b_{k+1}}{b_k}\Bigr)>1.
Como acabamos de ver esse limite é mL, basta escolher m\in\mathbb{N} tal que
mL>1.
Como L>0, existem inteiros m arbitrariamente grandes, logo podemos fixar um m natural com m>\tfrac1L. Para esse m, \sum_{k=0}^{\infty}a_k^m converge.

Passo 4

De um teorema básico sobre séries positivas, sabemos que se \sum_{k=0}^{\infty}a_k^m converge então a_k^m\to0 quando k\to\infty. Daí
a_k = \bigl(a_k^m\bigr)^{1/m}\;\longrightarrow\;0.

Resposta

a) Escolhendo qualquer m\in\mathbb{N} com mL>1, a série \sum_{k=0}^{\infty}a_k^m converge (critério de Gauss).
b) Dessa convergência segue que a_k\to0.

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