Seja n um inteiro não negativo. Prove que o número formado colocando 2^n e 2^n+1 lado a lado em qualquer ordem é um múltiplo de 3 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro não negativo n, os dois números
A = concatl(2^n,,2^n+1r) e B = concatl(2^n+1,,2^nr)
são divisíveis por 3.
O conteúdo que vamos usar é aritmética modular: em particular, que 10equiv1pmod3 e que potências de 2 satisfazem um ciclo simples módulo 3.

Passo 2

Para transformar a concatenação em uma expressão algébrica, note que se d é o número de dígitos de 2^m, então
concatl(2^n,,2^mr) =2^ncdot10^d + 2^m
No nosso caso temos
A = 2^ncdot10^ell + 2^n+1,
onde ell é o número de dígitos de 2^n+1, e
B = 2^n+1cdot10^k + 2^n,
onde k é o número de dígitos de 2^n.

Passo 3

Agora usamos que 10equiv1pmod3, logo para qualquer inteiro t>=1 vale
10^tequiv1^t=1pmod3
Isso elimina completamente a dependência de ell e k quando olhamos módulo 3.

Passo 4

Calculemos A módulo 3:
A equiv 2^ncdot10^ell + 2^n+1 equiv 2^ncdot1 + 2cdot2^n =3cdot2^n equiv 0pmod3
Analogamente,
B equiv 2^n+1cdot10^k + 2^n equiv 2cdot2^n + 2^n =3cdot2^n equiv 0pmod3

Resposta

Ambos os números concat(2^n,2^n+1) e concat(2^n+1,2^n) são múltiplos de 3.

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