Seja n um inteiro não negativo. Prove que o número formado colocando
e
lado a lado em qualquer ordem é um múltiplo de 3 .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro não negativo
, os dois números
são divisíveis por
.
O conteúdo que vamos usar é aritmética modular: em particular, que e que potências de
satisfazem um ciclo simples módulo
.
O conteúdo que vamos usar é aritmética modular: em particular, que
Passo 2
Para transformar a concatenação em uma expressão algébrica, note que se
é o número de dígitos de
, então
No nosso caso temos
onde
é o número de dígitos de
, e
onde
é o número de dígitos de
.
Passo 3
Agora usamos que
, logo para qualquer inteiro
vale
Isso elimina completamente a dependência de
e
quando olhamos módulo
.
Passo 4
Calculemos
módulo
:
Analogamente,
Resposta
Ambos os números
e
são múltiplos de
.