[16] Considere a matriz
A=[rr 2 & -1 -1 & 1 ]
(a) A matriz A é simétrica? Justifique sua resposta.
(b) Escreva explicitamente a forma quadrática Q=Q(h1, h2) associada à matriz A.
(c) Classifique a forma quadrática (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida) usando o método de Lagrange.
(d) Calcule todos os menores principais de A.
(e) Calcule todos os menores principais líderes de A.
(f) Classifique a forma quadrática (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida) usando os menores principais de A.
(g) Encontre, caso existam, pontos p e q em R^2 tais que Q(p)>0 e Q(q)<0.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 2 & -1 [6pt] -1 & 1
e pede, em (a)–(g), para verificar se ela é simétrica, escrever a forma quadrática Q, classificá-la por Lagrange e pelos menores principais, listar esses menores e, por fim, achar vetores p e q com Q( p)>0 e Q( q)<0. O conteúdo envolve matrizes simétricas, formas quadráticas, método de Lagrange (completamento de quadrados) e teste via menores principais.]

Passo 2

(a) Para ver se A é simétrica, basta comparar A com sua transposta A^T. Como
A^T = 2 & -1 [-3pt] -1 & 1 = A,
concluímos que A é simétrica.]

Passo 3

(b) A forma quadrática associada é
Q(h1,h2) = h1 & h2 2 & -1 [-3pt] -1 & 1 h1 [-3pt] h2 = 2h1^2 - 2h1h2 + h2^2 ]

Passo 4

(c) Para classificar por Lagrange, fazemos completamento de quadrados:
2h1^2 - 2h1h2 + h2^2 = 2l(h1^2 - h1h2 + tfrach2^24r) + h2^2 - tfrach2^22 = 2l(h1 - tfrach22r)^2 + tfrac12,h2^2
Como ambas as parcelas são quadrados com coeficientes positivos, Q é positiva definida.

Passo 5

(d) Os menores principais (de qualquer ordem) são:
  • Ordem 1: det(2)=2 e det(1)=1.
  • Ordem 2: det A = 2cdot1 - (-1)cdot(-1) = 2 - 1 = 1.

Passo 6

(e) Os menores principais líderes (começando no canto superior esquerdo) são:
  • D1 = a11 = 2,
  • D2 = det A = 1

Passo 7

(f) Pelo critério dos menores líderes, como D1 = 2 > 0 e D2 = 1 > 0, a forma é novamente positiva definida.

Passo 8

(g) Um exemplo de ponto com valor positivo é, por exemplo, p = (1,0), pois
Q(1,0) = 2cdot1^2 - 2cdot1cdot0 + 0^2 = 2 > 0
Como Q é positiva definida, não existe nenhum vetor q tal que Q( q)<0.

Resposta

(a) Sim, A^T = A.
(b) Q(h1,h2) = 2h1^2 - 2h1h2 + h2^2.
(c) Positiva definida (por completamento de quadrados).
(d) Menores principais: ordem 1 são 2 e 1; ordem 2 é 1.
(e) Menores líderes: D1=2, D2=1.
(f) Positiva definida (pois D1>0, D2>0).
(g) Por exemplo, p=(1,0) Q( p)=2>0; não há q com Q( q)<0.

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