Seja
uma matriz simétrica
. Denote o menor principal líder de ordem
de
por
. Classifique a matriz
como positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida e negativa semidefinida em cada um dos casos abaixo. Justifique cuidadosamente sua resposta.
e
.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz simétrica
e seus menores principais líderes
.
Queremos classificar em uma das categorias: positiva definida (PD), negativa definida (ND), positiva semidefinida (PSD), negativa semidefinida (NSD) ou indefinida.
A ferramenta principal é o critério de Sylvester:
Queremos classificar
A ferramenta principal é o critério de Sylvester:
-
é PD se e somente se para todo . -
é ND se e somente se para todo .
Passo 2
Testando positiva definida: seria preciso
, mas aqui
, logo não é positiva definida.
Testando negativa definida: seria preciso
, ou seja
, mas como
isso falha, então não é negativa definida.
Testando negativa definida: seria preciso
Passo 3
Testando positiva semidefinida: um requisito (necessário e suficiente) é que todos os menores principais satisfazem
. Aqui
, falha, logo não é PSD.
Testando negativa semidefinida: precisa-se de para todo
. Para
temos
Testando negativa semidefinida: precisa-se de
logo não é NSD.
Passo 4
Como falharam PD, ND, PSD e NSD, resta verificar que
é indefinida. De fato, o menor principal líder de ordem 2 é negativo, isto é, o bloco superior
tem determinante negativo. Esse bloco, sendo simétrico, tem autovalores de sinais opostos, portanto é indefinido. Qualquer extensão a uma submatriz principal maior mantém a indefinição de
.
Resposta
A matriz
é indefinida.