Seja A uma matriz simétrica 4 times 4. Denote o menor principal líder de ordem k de A por |Ak|. Classifique a matriz A como positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida e negativa semidefinida em cada um dos casos abaixo. Justifique cuidadosamente sua resposta.
|A1|=0,|A2|<0,|A3|=0 e |A4|=0.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz simétrica 4times4 e seus menores principais líderes
|A1|=0,;|A2|<0,;|A3|=0,;|A4|=0.
Queremos classificar A em uma das categorias: positiva definida (PD), negativa definida (ND), positiva semidefinida (PSD), negativa semidefinida (NSD) ou indefinida.
A ferramenta principal é o critério de Sylvester:
  1. A é PD se e somente se |Ak|>0 para todo k=1,dots,4.
  2. A é ND se e somente se (-1)^k|Ak|>0 para todo k=1,dots,4.

Passo 2

Testando positiva definida: seria preciso
|A1|>0, mas aqui |A1|=0, logo não é positiva definida.
Testando negativa definida: seria preciso
(-1)^1|A1|<0, ou seja -|A1|>0, mas como |A1|=0 isso falha, então não é negativa definida.

Passo 3

Testando positiva semidefinida: um requisito (necessário e suficiente) é que todos os menores principais satisfazem |Ak|>=0. Aqui |A2|<0, falha, logo não é PSD.
Testando negativa semidefinida: precisa-se de (-1)^k|Ak|>=0 para todo k. Para k=2 temos
(-1)^2|A2|=|A2|<0,
logo não é NSD.

Passo 4

Como falharam PD, ND, PSD e NSD, resta verificar que A é indefinida. De fato, o menor principal líder de ordem 2 é negativo, isto é, o bloco superior 2times2 tem determinante negativo. Esse bloco, sendo simétrico, tem autovalores de sinais opostos, portanto é indefinido. Qualquer extensão a uma submatriz principal maior mantém a indefinição de A.

Resposta

A matriz A é indefinida.

Exercícios de Livros Relacionados