Seja
uma matriz simétrica
. Denote o menor principal líder de ordem
de
por
. Classifique a matriz
como positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida e negativa semidefinida em cada um dos casos abaixo. Justifique cuidadosamente sua resposta.
e
.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz simétrica
e informa os menores principais líderes
Queremos classificar
(definida positiva, definida negativa, semidefinida ou indefinida). Vamos usar o critério de Sylvester e também o fato de que
é o produto dos autovalores.
Passo 2
Sylvester diz que
é positiva definida se, e somente se, todos os menores principais líderes satisfaçam
Aqui, embora
, temos
. Logo,
não é positiva definida.
Passo 3
Para ser negativa definida, seria preciso
isto é,
. Claramente isso falha já em
, pois
. Assim,
não é negativa definida.
Passo 4
Para semidefinições:
– positiva semidefinida exigiria para todo
;
– negativa semidefinida exigiria .
Como , nenhuma das condições de semidefinição se sustenta. Logo,
não é semidefinida.
– positiva semidefinida exigiria
– negativa semidefinida exigiria
Como
Passo 5
Como
, o produto dos quatro autovalores de
é negativo. Isso implica que há pelo menos um autovalor positivo e um negativo, de modo que a forma quadrática associada a
assume sinais opostos em vetores distintos. Portanto,
é indefinida.
Resposta
A matriz
é indefinida.