Seja A uma matriz simétrica 4 times 4. Denote o menor principal líder de ordem k de A por |Ak|. Classifique a matriz A como positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida e negativa semidefinida em cada um dos casos abaixo. Justifique cuidadosamente sua resposta.
|A1|>0,|A2|>0,|A3|>0 e |A4|<0.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz simétrica Ain R^4times4 e informa os menores principais líderes
|A1|>0, |A2|>0, |A3|>0, |A4|<0
Queremos classificar A (definida positiva, definida negativa, semidefinida ou indefinida). Vamos usar o critério de Sylvester e também o fato de que det A é o produto dos autovalores.

Passo 2

Sylvester diz que A é positiva definida se, e somente se, todos os menores principais líderes satisfaçam
|Ak|>0para k=1,2,3,4
Aqui, embora |A1|,|A2|,|A3|>0, temos |A4|=det A<0. Logo, A não é positiva definida.

Passo 3

Para ser negativa definida, seria preciso
(-1)^k|Ak|>0para k=1,2,3,4,
isto é, |A1|<0,;|A2|>0,;|A3|<0,;|A4|>0. Claramente isso falha já em k=1, pois |A1|>0. Assim, A não é negativa definida.

Passo 4

Para semidefinições:
– positiva semidefinida exigiria |Ak|>=0 para todo k;
– negativa semidefinida exigiria (-1)^k|Ak|>=0.
Como |A4|<0, nenhuma das condições de semidefinição se sustenta. Logo, A não é semidefinida.

Passo 5

Como det A=|A4|<0, o produto dos quatro autovalores de A é negativo. Isso implica que há pelo menos um autovalor positivo e um negativo, de modo que a forma quadrática associada a A assume sinais opostos em vetores distintos. Portanto, A é indefinida.

Resposta

A matriz A é indefinida.

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