1. Seja P=(x0, y0) um ponto da parábola y=x^2. Mostre que uma reta não-vertical passando por P, que não intercepta a curva em qualquer outro ponto, é necessariamente a reta tangente em P; isto é, mostre que se a reta
y-y0=m(x-x0)
intercepta y=x^2 somente em (x0, y0), então m=2 x0.

Passo 1

O enunciado considera a parábola y = x^2 e um ponto genérico nela, P=(x0,y0) com y0=x0^2. Queremos mostrar que, se uma reta não-vertical
y - y0 = m,(x - x0)
intercepta a parábola apenas em P, então seu coeficiente angular m é igual a 2x0. Para isso, vamos substituir a equação da reta na de y=x^2 e usar a ideia de que “interseção única” implica raiz dupla na equação resultante.

Passo 2

Substituindo y = y0 + m(x - x0) em y=x^2 obtemos
x^2 = y0 + m,(x - x0)
Reagrupando todos os termos no lado esquerdo e usando y0 = x0^2, fica
x^2 - m,x + l(m x0 - x0^2r) = 0

Passo 3

Essa é uma equação quadrática em x. Como sabemos que x=x0 é uma solução (ela representa exatamente o ponto P), para que não haja nenhum outro ponto de interseção, x0 deve ser raiz dupla. Em termos de teoria de equações quadráticas, isso significa que o discriminante De<a deve ser zero.

Passo 4

O discriminante de
x^2 - m,x + (m x0 - x0^2)=0
é
De<a = (-m)^2 - 4cdot 1 cdot (m x0 - x0^2) = m^2 - 4m x0 + 4x0^2 = (m - 2x0)^2
Impondo De<a=0 para ter raiz dupla resulta em
(m - 2x0)^2 = 0 Longrightarrow m = 2x0

Resposta

m = 2x0.

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