- Seja
um ponto da parábola
. Mostre que uma reta não-vertical passando por
, que não intercepta a curva em qualquer outro ponto, é necessariamente a reta tangente em
; isto é, mostre que se a reta
intercepta
somente em
, então
.
Passo 1
O enunciado considera a parábola
e um ponto genérico nela,
com
. Queremos mostrar que, se uma reta não-vertical
intercepta a parábola apenas em
, então seu coeficiente angular
é igual a
. Para isso, vamos substituir a equação da reta na de
e usar a ideia de que “interseção única” implica raiz dupla na equação resultante.
Passo 2
Substituindo
em
obtemos
Reagrupando todos os termos no lado esquerdo e usando
, fica
Passo 3
Essa é uma equação quadrática em
. Como sabemos que
é uma solução (ela representa exatamente o ponto
), para que não haja nenhum outro ponto de interseção,
deve ser raiz dupla. Em termos de teoria de equações quadráticas, isso significa que o discriminante
deve ser zero.
Passo 4
O discriminante de
é
Impondo
para ter raiz dupla resulta em