Seja
o predicado "
".
(a) Escreva a sentença a seguir usando a lógica de predicados e números inteiros positivos como o domínio.
Para cada número inteiro positivo
, existem números inteiros positivos
e
tais que
.
(b) Negue formalmente a sua sentença de lógica de predicados da parte (a). Simplifique de forma que não sobre nenhum quantificador no escopo de uma negação.
(c) A fim de produzir um contraexemplo para a sentença da parte (a), o que, especificamente, você deveria encontrar?
(a) Escreva a sentença a seguir usando a lógica de predicados e números inteiros positivos como o domínio.
(b) Negue formalmente a sua sentença de lógica de predicados da parte (a). Simplifique de forma que não sobre nenhum quantificador no escopo de uma negação.
(c) A fim de produzir um contraexemplo para a sentença da parte (a), o que, especificamente, você deveria encontrar?
Passo 1
O enunciado define o predicado
como “
” e pede:
(a) expressar em lógica de predicados a frase “Para cada número inteiro positivo , existem inteiros positivos
tais que
”;
(b) negar formalmente essa sentença de forma que não haja quantificadores no escopo de negação;
(c) dizer o que precisa ser encontrado para produzir um contraexemplo à sentença do item (a).
(a) expressar em lógica de predicados a frase “Para cada número inteiro positivo
(b) negar formalmente essa sentença de forma que não haja quantificadores no escopo de negação;
(c) dizer o que precisa ser encontrado para produzir um contraexemplo à sentença do item (a).
Passo 2
Escrevemos a sentença do item (a) explicitando domínio “inteiros positivos” em cada quantificador:
Passo 3
Negamos passo a passo:
Substituindo
por
, fica:
Passo 4
Para produzir um contraexemplo da sentença do item (a) basta encontrar um inteiro positivo
tal que não exista nenhum triplo
em
satisfazendo
. Em outras palavras, um valor de
que faça
Resposta
(a)
(b)
(c) Um inteiro positivo tal que não existam
com
; isto é, um testemunho
para a parte (b) (por exemplo
).
(b)
(c) Um inteiro positivo