Seja P(n, x, y, z) o predicado " x^n+y^n=z^n ".
(a) Escreva a sentença a seguir usando a lógica de predicados e números inteiros positivos como o domínio.
Para cada número inteiro positivo n, existem números inteiros positivos x, y e z tais que x^n+y^n=z^n.
(b) Negue formalmente a sua sentença de lógica de predicados da parte (a). Simplifique de forma que não sobre nenhum quantificador no escopo de uma negação.
(c) A fim de produzir um contraexemplo para a sentença da parte (a), o que, especificamente, você deveria encontrar?

Passo 1

O enunciado define o predicado P(n,x,y,z) como “ x^n+y^n=z^n” e pede:
(a) expressar em lógica de predicados a frase “Para cada número inteiro positivo n, existem inteiros positivos x,y,z tais que x^n+y^n=z^n”;
(b) negar formalmente essa sentença de forma que não haja quantificadores no escopo de negação;
(c) dizer o que precisa ser encontrado para produzir um contraexemplo à sentença do item (a).

Passo 2

Escrevemos a sentença do item (a) explicitando domínio “inteiros positivos” em cada quantificador:
forall ninZ^+;exists xinZ^+;exists yinZ^+;exists zinZ^+;P(n,x,y,z)

Passo 3

Negamos passo a passo:
negl[forall ninZ^+;exists x,exists y,exists z;P(n,x,y,z)r] ;equiv; exists ninZ^+;negl[exists x,exists y,exists z;P(n,x,y,z)r]
equiv; exists ninZ^+;forall xinZ^+;forall yinZ^+;forall zinZ^+;neg P(n,x,y,z)
Substituindo neg P(n,x,y,z) por x^n+y^nneq z^n, fica:
exists ninZ^+;forall xinZ^+;forall yinZ^+;forall zinZ^+;(x^n+y^nneq z^n)

Passo 4

Para produzir um contraexemplo da sentença do item (a) basta encontrar um inteiro positivo n0 tal que não exista nenhum triplo (x,y,z) em Z^+ satisfazendo x^n0+y^n0=z^n0. Em outras palavras, um valor de n que faça
forall x,y,zinZ^+, x^n+y^nneq z^n

Resposta

(a) forall ninZ^+;exists xinZ^+;exists yinZ^+;exists zinZ^+;P(n,x,y,z)
(b) exists ninZ^+;forall xinZ^+;forall yinZ^+;forall zinZ^+;(x^n+y^nneq z^n)
(c) Um inteiro positivo n tal que não existam x,y,z>0 com x^n+y^n=z^n; isto é, um testemunho n0 para a parte (b) (por exemplo n=3).

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