Seja p um primo ímpar. Se p lambda a, mostre que a^p-12 equiv pm 1(bmod p).

Passo 1

O enunciado diz que p é um primo ímpar e que p não divide a (ou seja, gcd(a,p)=1). Queremos mostrar que
a^p-12equiv pm1 pmodp
O que vamos usar é o Pequeno Teorema de Fermat e a fatoração de diferença de quadrados.

Passo 2

Pelo Pequeno Teorema de Fermat, como gcd(a,p)=1, temos
a^p-1equiv 1pmodp
Isso nos dá que
a^p-1-1equiv 0pmodp

Passo 3

Escrevemos a^p-1-1 como diferença de quadrados:
a^p-1-1 = l(a^p-12r)^2 - 1^2 = l(a^p-12-1r)l(a^p-12+1r)
Logo,
l(a^p-12-1r)l(a^p-12+1r)equiv 0pmodp

Passo 4

Como p é primo, p divide o produto de dois números se, e somente se, p divide pelo menos um deles. Logo, temos duas possibilidades:
  • a^p-12-1equiv 0pmodp, ou
  • a^p-12+1equiv 0pmodp.
Isto é,
a^p-12equiv 1pmodp ou a^p-12equiv -1pmodp

Resposta

Portanto,
a^p-12equiv pm1pmodp

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