Seja p um primo ímpar. Se p
a, mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um primo ímpar e que
não divide
(ou seja,
). Queremos mostrar que
O que vamos usar é o Pequeno Teorema de Fermat e a fatoração de diferença de quadrados.
Passo 2
Pelo Pequeno Teorema de Fermat, como
, temos
Isso nos dá que
Passo 3
Escrevemos
como diferença de quadrados:
Logo,
Passo 4
Como
é primo,
divide o produto de dois números se, e somente se,
divide pelo menos um deles. Logo, temos duas possibilidades:
-
, ou -
.
Isto é,
Resposta
Portanto,