a) Mostre que, para todo n >= 1 :
(10^n-1+2 cdot 10^n-2+3 cdot 10^n-3+ldots+n)(10-1)+(n+1)=10^n+1-19
b) Use a) para justificar a seguinte curiosa seqüência de resultados relativa ao nosso sistema de numeração:
1 cdot 9+2 & =11 12 cdot 9+3 & =111 123 cdot 9+4 & =1111 1234 cdot 9+5 & =11111 12345 cdot 9+6 & =111111

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
a) Provar que, para todo n>=1, se definirmos
Sn ;=; 10^n-1+2cdot10^n-2+3cdot10^n-3+dots+n
então
9,Sn + (n+1) ;=;10^n+1-19
b) Mostrar que isso explica por que
1cdot9+2=11, 12cdot9+3=111, 123cdot9+4=1111,;dots
O conteúdo central é uma prova por indução e a interpretação decimal de Sn.

Passo 2

Verificamos o caso base n=1.
Temos
S1 = 10^1-1 = 1,
logo
9,S1 + (1+1) = 9cdot1 + 2 = 11 e 10^1+1-19 = 10^2-19 = 999=11
Está ok para n=1.

Passo 3

Suponha a fórmula válida para um n genérico, isto é,
9,Sn + (n+1) = 10^n+1-19
Queremos provar para n+1. Note que
Sn+1 =sumk=1^n+1k,10^,n+1-k =10sumk=1^nk,10^,n-k ;+;(n+1) =10,Sn + (n+1)
Então
9,Sn+1 + (n+2) =9l(10,Sn + (n+1)r) + (n+2) =90,Sn + 9(n+1)+(n+2)
Agrupando 90,Sn+10(n+1)=10l(9,Sn+(n+1)r) e reorganizando:
9,Sn+1+(n+2) =10l(9,Sn+(n+1)r) ;+;(n+2)-(n+1) =10cdot10^n+1-19 ;+;1 =10^n+2-109+99 =10^n+2-19
Isso fecha a indução.

Passo 4

Concluímos que, para todo n>=1,
9,Sn+(n+1)=10^n+1-19,
ou seja, multiplicar Sn por 9 e somar n+1 gera o número decimal formado por n+1 dígitos todos iguais a 1.

Passo 5

Note que o número decimal 123cdots n é exatamente
Sn =10^n-1+2cdot10^n-2+cdots+n
Logo ao calcular
123cdots n ;times;9 ;+;(n+1)
obtém-se uma sequência de n+1 uns, o que dá os exemplos
1cdot9+2=11, 12cdot9+3=111, 123cdot9+4=1111,;dots

Resposta

a) A igualdade
l(10^n-1+2cdot10^n-2+dots+nr),(10-1)+(n+1)=10^n+1-19
é demonstrada por indução em n.
b) Como o número 123cdots n vale exatamente
Sn=10^n-1+2cdot10^n-2+cdots+n, a fórmula prova que
123cdots n;times9;+;(n+1)
é sempre o número composto por n+1 dígitos iguais a 1, justificando a sequência curiosa.

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