a) Mostre que, para todo
:
b) Use a) para justificar a seguinte curiosa seqüência de resultados relativa ao nosso sistema de numeração:
b) Use a) para justificar a seguinte curiosa seqüência de resultados relativa ao nosso sistema de numeração:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
a) Provar que, para todo , se definirmos
a) Provar que, para todo
então
b) Mostrar que isso explica por que
O conteúdo central é uma prova por indução e a interpretação decimal de
.
Passo 2
Verificamos o caso base
.
Temos
Temos
logo
Está ok para
.
Passo 3
Suponha a fórmula válida para um
genérico, isto é,
Queremos provar para
. Note que
Então
Agrupando
e reorganizando:
Isso fecha a indução.
Passo 4
Concluímos que, para todo
,
ou seja, multiplicar
por 9 e somar
gera o número decimal formado por
dígitos todos iguais a 1.
Passo 5
Note que o número decimal
é exatamente
Logo ao calcular
obtém-se uma sequência de
uns, o que dá os exemplos
Resposta
a) A igualdade
é demonstrada por indução em
.
b) Como o número vale exatamente
, a fórmula prova que
b) Como o número
é sempre o número composto por
dígitos iguais a 1, justificando a sequência curiosa.