Encontre os valores possíveis de bem mathbfZ de maneira que:
mdc(63-b, b)=9

Passo 1

O enunciado pede todos os inteiros b tais que
mdc(63 - b,,b) = 9
Isso é um problema de teoria dos números envolvendo propriedades do máximo divisor comum (mdc) e, em particular, a aplicação do algoritmo de Euclides.

Passo 2

Usamos a propriedade
mdc(a,b) ;=;mdc(a,,b-a),
com a=b e b=63. Logo,
mdc(63 - b,,b) =mdc(b,,63)
Portanto a condição vira
mdc(b,,63)=9

Passo 3

Para mdc(b,63)=9 é preciso que 9 divida b e que, ao dividir ambos por 9, fique coprimo com 63/9=7. Escrevemos
b=9k,
e então
mdc(b,63) =9;Long<=ftrightarrow;9mid b; e ;mdc(k,7)=1

Passo 4

Concluímos que os valores de b são todos os múltiplos de 9 cujo quociente por 9 não é múltiplo de 7. Em outras palavras,
b=9k, kinZ,;7nmid k
Equivalentemente, na classe módulo 63, temos seis resíduos possíveis:
bequiv 9,18,27,36,45,54pmod63

Resposta

b=9k, com kinZ e mdc(k,7)=1.

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