Seja a uma raiz primitiva de um primo ímpar p. Prove que:
a) Se p equiv 1(bmod 4), entāo sim a também é raiz primitiva de p .
b) Se p equiv 3(bmod 4), então a ordem de -a, módulo p, é p-12.

Passo 1

O enunciado diz que a é raiz primitiva de um primo ímpar p. Isso significa que a ordem de a no grupo multiplicativo (Z/p)^times é
ordp(a)=p-1
Queremos mostrar duas coisas:
  • (a) Se pequiv1pmod4, então também -a tem ordem p-1, ou seja é raiz primitiva.
  • (b) Se pequiv3pmod4, então ordp(-a)=p-12

Passo 2

Lembramos que em geral
(-a)^k = (-1)^k,a^k
e que, por um fato clássico (ou símbolo de Legendre),
(-1)^p-12 = 1, & pequiv1pmod4, -1,& pequiv3pmod4
Além disso, como a é primitiva, sabe-se também que
a^p-12equiv-1pmod p

Passo 3

Prova de (a). Suponha pequiv1pmod4. Então (-1)^p-12=1 e portanto
(-a)^p-12 = (-1)^p-12;a^p-12 = 1cdot(-1) = -1pmod p
Isto mostra que a menor pot^encia de -a que d’a 1 \u00e9 maior do que tfracp-12. Mas a ordem de qualquer elemento divide |(Z/p)^times|=p-1. Logo a \u00fanica possibilidade \u00e9
ordp(-a)=p-1,
isto \u00e9, -a \u00e9 raiz primitiva tamb’em.

Passo 4

Prova de (b). Agora pequiv3pmod4, então (-1)^p-12=-1. Logo
(-a)^p-12 =(-1)^p-12;a^p-12 =-1cdot(-1) =1pmod p
Isso mostra que a ordem de -a divide tfracp-12.
Para ver que não há divisor próprio menor, suponha por absurdo que
ordp(-a)=d<tfracp-12.
Então
(-a)^d=1 ;Longrightarrow; (-1)^d,a^dequiv1 ;Longrightarrow; a^dequiv(-1)^d
Se d é par, então a^dequiv1 e como d< p-1 isso contradiz que a tem ordem p-1.
Se d é ímpar, então a^dequiv-1 e então
a^2dequiv1 com 2d< p-1,
novamente contradizendo a ordem máxima de a.
Portanto a única possibilidade é
ordp(-a)=p-12

Resposta

(a) Se pequiv1pmod4, então -a é raiz primitiva de p.
(b) Se pequiv3pmod4, então ordp(-a)=tfracp-12.

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