Seja a uma raiz primitiva de um primo ímpar p. Prove que:
a) Se , entāo a também é raiz primitiva de p .
b) Se , então a ordem de , módulo , é .
Passo 1
O enunciado diz que é raiz primitiva de um primo ímpar . Isso significa que a ordem de no grupo multiplicativo é
Queremos mostrar duas coisas:
(a) Se , então também tem ordem , ou seja é raiz primitiva.
(b) Se , então
Passo 2
Lembramos que em geral
e que, por um fato clássico (ou símbolo de Legendre),
Além disso, como a é primitiva, sabe-se também que
a^p-12equiv-1pmod p
Passo 3
Prova de (a). Suponha pequiv1pmod4. Então (-1)^p-12=1 e portanto
(-a)^p-12 = (-1)^p-12;a^p-12 = 1cdot(-1) = -1pmod p
Isto mostra que a menor pot^encia de -a que d’a 1 \u00e9 maior do que tfracp-12. Mas a ordem de qualquer elemento divide |(Z/p)^times|=p-1. Logo a \u00fanica possibilidade \u00e9
ordp(-a)=p-1,
isto \u00e9, -a \u00e9 raiz primitiva tamb’em.
Passo 4
Prova de (b). Agora pequiv3pmod4, então (-1)^p-12=-1. Logo
(-a)^p-12 =(-1)^p-12;a^p-12 =-1cdot(-1) =1pmod p
Isso mostra que a ordem de -a divide tfracp-12.
Para ver que não há divisor próprio menor, suponha por absurdo que ordp(-a)=d<tfracp-12.
Então