Seja p > 2 um número primo. Use o teorema de Wilson para provar que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, dado um primo
, que
Vamos usar o Teorema de Wilson, que diz
e a seguir derivar dele o Pequeno Teorema de Fermat para
.
Passo 2
Mostramos que do Teorema de Wilson decorre o Pequeno Teorema de Fermat. Seja
tal que
. Multiplicando cada elemento de
por
módulo
obtemos de novo a permutação
, logo
Como
é invertível em
, podemos cancelar e ver que
Em particular, tomando
, fica
Passo 3
Agora relacionamos as listas de ímpares e pares. Note que os ímpares em
são exatamente
e os pares em
são
Multiplicar cada ímpar
por
(módulo
) gera cada par
uma vez. Assim
Elevando ao quadrado, obtemos
Passo 4
Como vimos em \
Passo 5
que é exatamente