Seja p > 2 um número primo. Use o teorema de Wilson para provar que:
1^2 cdot 3^2 cdot ldots cdot(p-2)^2 equiv 2^2 cdot 4^2 cdot ldots cdot(p-1)^2(bmod p)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, dado um primo p>2, que
1^2cdot3^2cdotldotscdot(p-2)^2 ;equiv; 2^2cdot4^2cdotldotscdot(p-1)^2 pmod p
Vamos usar o Teorema de Wilson, que diz
(p-1)!equiv-1pmod p,
e a seguir derivar dele o Pequeno Teorema de Fermat para a=2.

Passo 2

Mostramos que do Teorema de Wilson decorre o Pequeno Teorema de Fermat. Seja a tal que 1<= a<= p-1. Multiplicando cada elemento de 1,2,dots,p-1 por a módulo p obtemos de novo a permutação 1,dots,p-1, logo
a^p-1,(p-1)!equiv(p-1)!pmod p
Como (p-1)! é invertível em Z/pZ, podemos cancelar e ver que
a^p-1equiv1pmod p
Em particular, tomando a=2, fica
2^p-1equiv1pmod p

Passo 3

Agora relacionamos as listas de ímpares e pares. Note que os ímpares em 1,3,dots,p-2 são exatamente
2k-1mid k=1,2,dots,tfracp-12,
e os pares em 2,4,dots,p-1 são
2jmid j=1,2,dots,tfracp-12
Multiplicar cada ímpar 2k-1 por 2 (módulo p) gera cada par 2j uma vez. Assim
prodj=1^p-12(2j) ;equiv; prodk=1^p-12l(2,(2k-1)r) ;=; 2^p-12, prodk=1^p-12(2k-1)
Elevando ao quadrado, obtemos
prodj=1^p-12(2j)^2 ;equiv; 2^p-1, prodk=1^p-12(2k-1)^2

Passo 4

Como vimos em \

Passo 5

prodj=1^p-12(2j)^2 ;equiv; prodk=1^p-12(2k-1)^2 pmod p,
que é exatamente
2^2cdot4^2cdotldotscdot(p-1)^2 ;equiv; 1^2cdot3^2cdotldotscdot(p-2)^2 pmod p

Resposta

1^2cdot3^2cdotldotscdot(p-2)^2 equiv 2^2cdot4^2cdotldotscdot(p-1)^2 pmod p

Exercícios de Livros Relacionados