Seja a um inteiro tal que 2 X a e 3 X a. Prove que 24 mid(a^2-1).
Resoluçāo: Aplicando o algoritmo da divisão para a como dividendo e 6 como divisor: a=6 r+s(s=0,1,2,3,4 ou 5). Como 2 Xa e 3 Xa, entảo s=1 ou s=5. No primeiro caso: a^2-1=(6 r+1)^2-1= 36 r^2+12 r=12 r(3 r+1). Se r é par, entāo 12r é múltiplo de 24 e o mesmo se pode dizer, portanto, de a^2-1; se ré ímpar, então 3 r+1 é par, daí 24 mid(a^2-1). O caso s=5 pode ser enfrentado pela mesma linha de raciocínio.

Passo 1

O enunciado diz que a é um inteiro tal que 2nmid a e 3nmid a. Queremos mostrar que
24 mid l(a^2-1r)
O conteúdo usado será propriedades de quadrados em aritmética modular e o fato de que, se dois números são coprimos, o mínimo múltiplo é o produto.

Passo 2

Como 2nmid a, o inteiro a é ímpar. Logo, podemos escrever
a = 2k+1, kinZ
Então
a^2-1 = (2k+1)^2 - 1 = 4k(k+1)
Entre k e k+1, um é par, logo k(k+1) é múltiplo de 2. Assim
a^2-1 = 4cdot 2cdot m = 8m, minZ,
ou seja,
8 mid l(a^2-1r)

Passo 3

Como 3nmid a, o resto de a na divisão por 3 é 1 ou 2. Em aritmética modular:
a equiv pm 1 pmod3
Elevando ao quadrado,
a^2 equiv 1 pmod3 Longrightarrow 3 mid l(a^2-1r)

Passo 4

Já vimos que
8 mid l(a^2-1r) e 3 mid l(a^2-1r)
Como gcd(8,3)=1, segue que
24 = 8cdot 3 divide a^2-1

Resposta

24 mid l(a^2-1r).

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