Seja um triângulo de base a e altura h. Giramos o triângulo em torno de um eixo paralelo à base e que contém o baricentro do triângulo. Qual é o volume do sólido gerado?

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar um triângulo de base a e altura h em torno de um eixo paralelo à base que passa pelo baricentro. Aqui vamos usar o método das cascas cilíndricas (shells), pois o eixo de rotação é paralelo aos segmentos horizontais de um corte por y= const.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas em que o vértice da base fique em y=0 e o vértice oposto em y=h. A um dado yin[0,h], o triângulo tem largura
ell(y)=al(1-tfracyhr)
O eixo de rotação é a reta y=tfrach3.

Passo 3

Uma fatia horizontal de espessura dy a y forma, ao girar, uma casca cilíndrica de raio
R=l|y-tfrach3r|
e altura ell(y). O volume dessa casca vale
dV = 2pi,R;ell(y),dy =2pi,l|y-tfrach3r|;al(1-tfracyhr)dy

Passo 4

Para eliminar o valor absoluto, separamos a integral em dois trechos: 0<= y<=tfrach3 (onde R=tfrach3-y) e tfrach3<= y<= h (onde R=y-tfrach3). Assim
V=2pi al[integral0^tfrach3l(tfrach3-yr)l(1-tfracyhr)dy +integraltfrach3^hl(y-tfrach3r)l(1-tfracyhr)dyr]

Passo 5

Cada integral dá o mesmo resultado. Por exemplo, calcule
I1=integral0^tfrach3l(tfrach3-yr)l(1-tfracyhr)dy =4,h^281,
e
I2=integraltfrach3^hl(y-tfrach3r)l(1-tfracyhr)dy =4,h^281
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V=2pi al(I1+I2r) =2pi acdot8,h^281 =16pi,a,h^281

Resposta

V=16pi,a,h^281

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