Seja um triângulo de base a e altura . Giramos o triângulo em torno de um eixo paralelo à base e que contém o baricentro do triângulo. Qual é o volume do sólido gerado?
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar um triângulo de base e altura em torno de um eixo paralelo à base que passa pelo baricentro. Aqui vamos usar o método das cascas cilíndricas (shells), pois o eixo de rotação é paralelo aos segmentos horizontais de um corte por const.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas em que o vértice da base fique em e o vértice oposto em . A um dado , o triângulo tem largura
O eixo de rotação é a reta .
Passo 3
Uma fatia horizontal de espessura a forma, ao girar, uma casca cilíndrica de raio
e altura ell(y). O volume dessa casca vale
dV = 2pi,R;ell(y),dy =2pi,l|y-tfrach3r|;al(1-tfracyhr)dy
Passo 4
Para eliminar o valor absoluto, separamos a integral em dois trechos: 0<= y<=tfrach3 (onde R=tfrach3-y) e tfrach3<= y<= h (onde R=y-tfrach3). Assim
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica - 7ª Edição - Capítulo 15.Exercícios - Ex. 1039