Seja F(x, y, z)=f(x) \vec{i}+g(y) \vec{j}+h(z) \vec{k}, em que f, g, h: \Omega \rightarrow \mathbb{R} são funções integráveis em \Omega=\{s \in \mathbb{R} ; s>0\}. Mostre que \vec{F} é conservativo e calcule
\begin{gathered} \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \gamma \\ \text { em que } \gamma(t)=(a t, b t, c t), a, b, c>0 \text { e } t \in[0,1] \end{gathered}

Passo 1

O enunciado dá o campo de vetores
\vec{F}(x,y,z) = f(x)\,\vec{i} \;+\; g(y)\,\vec{j} \;+\; h(z)\,\vec{k},
onde f,g,h são funções integráveis em \{s>0\}. Pede-se (1) mostrar que \vec{F} é conservativo e (2) calcular
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\gamma \quad\text{em que}\quad \gamma(t) = (a t,\;b t,\;c t),\;t\in[0,1],\;a,b,c>0.
O conteúdo aqui é reconhecimento de campo conservativo via rotacional nulo e uso de potencial escalar para avaliar a integral de linha.

Passo 2

Para mostrar que \vec{F} é conservativo basta verificar que o rotacional de \vec{F} é nulo. Recordando
\nabla\times\vec{F} =\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\\ f(x) & g(y) & h(z) \end{vmatrix},
vemos que
\partial_y f(x)=0,\quad \partial_z f(x)=0,\quad \partial_x g(y)=0,\quad \partial_z g(y)=0,\quad \partial_x h(z)=0,\quad \partial_y h(z)=0
pois cada componente depende de uma só variável. Logo
\nabla\times\vec{F} = \vec{0},
o que mostra que \vec{F} é um campo conservativo.

Passo 3

Como \vec{F} é conservativo, existe potencial escalar \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\vec{F}. Basta integrar componente a componente:
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=f(x) \;\Longrightarrow\; \varphi(x,y,z)=\int f(x)\,dx + C(y,z).
Em seguida,
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=g(y) \;\Longrightarrow\; \varphi(x,y,z)=\int f(x)\,dx + \int g(y)\,dy + D(z).
Finalmente,
\frac{\partial\varphi}{\partial z}=h(z) \;\Longrightarrow\; \varphi(x,y,z)=\int f(x)\,dx \;+\;\int g(y)\,dy\;+\;\int h(z)\,dz \;+\; \text{constante}.
Podemos escolher a constante igual a zero.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental dos Campos Conservativos, a integral de linha independe do caminho e vale
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\gamma =\varphi\bigl(\gamma(1)\bigr)\;-\;\varphi\bigl(\gamma(0)\bigr).
Como \gamma(1)=(a,b,c) e \gamma(0)=(0,0,0), obtemos
\varphi(a,b,c) =\int_{0}^{a}f(x)\,dx \;+\;\int_{0}^{b}g(y)\,dy \;+\;\int_{0}^{c}h(z)\,dz,
e escolhemos \varphi(0,0,0)=0. Portanto
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\gamma =\int_{0}^{a}f(x)\,dx \;+\;\int_{0}^{b}g(y)\,dy \;+\;\int_{0}^{c}h(z)\,dz.

Resposta

\boxed{ \vec{F}\text{ é conservativo e } \int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\gamma =\int_{0}^{a}f(x)\,dx + \int_{0}^{b}g(y)\,dy + \int_{0}^{c}h(z)\,dz. }é

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