Sejam os conjuntos A=x in R mid x >= 1 e B=y in R mid y >= 2 e a função f de A em B definida por f(x)=x^2-2 x+3. Obtenha a função inversa de f.

Solução

A função dada é f(x)=y=x^2-2 x+3, com x >= 1 e y >= 2.
Aplicando a regra prática, temos:
I) permutando as variáveis:
x=y^2-2 y+3 com y >= 1 e x >= 2
II) expressando y em função de x :
& x=y^2-2 y+3 Rightarrow x=y^2-2 y+1+3-1 Rightarrow x=(y-1)^2+2 Rightarrow & (y-1)^2=x-2 Rightarrow y-1=raizx-2 ou & y-1=-raizx-2 Rightarrow y=1+raizx-2 ou y=1-raizx-2
Considerando que na função inversa f^-1 devemos ter y >= 1 e x >= 2, a sentença que define a função inversa é f^-1(x)=1+raizx-2.
Resposta: f^-1: B A
f^-1(x)=1+raizx-2

Passo 1

O enunciado define a função fcolon A to B com
A = xinRmid x>=1, B = yinRmid y>=2,
e
f(x) = x^2 - 2x + 3
Queremos encontrar f^-1 resolvendo y = f(x) e usando as restrições de domínio.

Passo 2

Verificamos que f é injetora ao analisar sua derivada:
f'(x) = 2x - 2 >= 0para todo x>=1,
logo f é estritamente crescente em A e, portanto, invertível de A em B.

Passo 3

Escrevemos a equação y = x^2 - 2x + 3 e completamos o quadrado:
y = x^2 - 2x + 3 = (x-1)^2 + 2,
logo
y - 2 = (x-1)^2

Passo 4

Tirando raiz em ambos os lados, obtemos
x-1 = pmraizy-2 Longrightarrow x = 1 pm raizy-2

Passo 5

Pelo domínio original x>=1, rejeitamos o sinal negativo (que daria x<=1) e mantemos
x = 1 + raizy-2
Assim, a inversa satisfaz
f^-1(y) = 1 + raizy-2, com y>=2
Renomeando y para x, temos
f^-1(x) = 1 + raizx - 2
com domínio x>=2.

Resposta

f^-1colon B to A, f^-1(x) = 1 + raizx - 2

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