Sejam A e B dois conjuntos finitos. Prove que
nA cup B=nA+nB-nA cap B
O símbolo nx representa o número de elementos do conjunto X.

Passo 1

O enunciado pede para provar a fórmula de inclusão-exclusão para dois conjuntos finitos A e B, isto é,
nAcup B=nA+nB-nAcap B
O conteúdo aqui é contagem de elementos em uniões de conjuntos e vamos usar a ideia de particionar os conjuntos em partes disjuntas e depois aplicar a aditividade da cardinalidade sobre uniões disjuntas.

Passo 2

Definimos as três partes disjuntas a seguir:
Asetminus B, Bsetminus A, Acap B
Esses três conjuntos são mutuamente disjuntos (não têm elemento em comum) e satisfazem
Acup B=(Asetminus B);cup;(Bsetminus A);cup;(Acap B)

Passo 3

Como a cardinalidade é aditiva em uniões de conjuntos disjuntos, temos
nAcup B =nAsetminus B+nBsetminus A+nAcap B

Passo 4

Por outro lado, cada um dos conjuntos A e B também se decompõe em duas partes disjuntas:
A=(Asetminus B);cup;(Acap B), B=(Bsetminus A);cup;(Acap B)
Logo
nA=nAsetminus B+nAcap B, nB=nBsetminus A+nAcap B

Passo 5

Somando as duas últimas igualdades, obtemos
nA+nB =(nAsetminus B+nAcap B)+(nBsetminus A+nAcap B) =nAsetminus B+nBsetminus A+2,nAcap B
Comparando com a expressão de nAcup B do Passo 3, vemos que
nA+nB =nAcup B+nAcap B,
e, isolando nAcup B, segue-se a fórmula desejada:
nAcup B=nA+nB-nAcap B

Resposta

nAcup B=nA+nB-nAcap B

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