Sejam as funções: f de A em B, definida por y=f(x); identidade em A, anotada por IA, de A em A e definida por IA(x)=x; identidade em B, anotada por IB, de B em B e definida por lB(x)=x. Prove que:
f circ IA=f e IB circ f=f

Passo 1

O enunciado pede para provar, dadas as funções
fcolon Ato B,
IAcolon Ato A com IA(x)=x e
IBcolon Bto B com IB(y)=y,
que
fcirc IA=f e IBcirc f=f
Para isso, vamos usar as definições de composição de funções, de função identidade e de igualdade de funções.

Passo 2

Definição de igualdade e de composição:
  • Duas funções g,hcolon Xto Y são iguais, g=h, se e somente se para todo xin X vale g(x)=h(x).
  • A composição de gcolon Ato B e hcolon Bto C é a função
hcirc gcolon Ato C, (hcirc g)(x)=hl(g(x)r)

Passo 3

Provar fcirc IA=f.
Para todo xin A, pela definição de composição e de IA temos
(fcirc IA)(x) = fl(IA(x)r) = f(x)
Como isso vale para todo xin A, concluímos que fcirc IA e f coincidem em todos os argumentos, isto é,
fcirc IA=f

Passo 4

Provar IBcirc f=f.
Para todo xin A, pela definição de composição e de IB segue
(IBcirc f)(x) = IBl(f(x)r) = f(x)
Logo, como ocorre para todo xin A, temos
IBcirc f=f

Resposta

fcirc IA=f e IBcirc f=f

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