Sejam as funções:
de
em
, definida por
; identidade em
, anotada por
, de A em A e definida por
; identidade em B, anotada por
, de B em
e definida por
. Prove que:
Passo 1
O enunciado pede para provar, dadas as funções
,
com
e
com
,
que
que
Para isso, vamos usar as definições de composição de funções, de função identidade e de igualdade de funções.
Passo 2
Definição de igualdade e de composição:
- Duas funções
são iguais, , se e somente se para todo vale . - A composição de
e é a função
Passo 3
Provar
.
Para todo , pela definição de composição e de
temos
Para todo
Como isso vale para todo
, concluímos que
e
coincidem em todos os argumentos, isto é,
Passo 4
Provar
.
Para todo , pela definição de composição e de
segue
Para todo
Logo, como ocorre para todo
, temos