Sejam as funções reais
e .
Obtenha as leis que definem .

Passo 1

O enunciado define
e
e de . Para isso usaremos definição de composição:
e , cuidando de separar os ramos conforme os intervalos em que (no primeiro caso) ou (no segundo) caem.

Passo 2

Para obter (fcirc g)(x)=f(2-3x) precisamos ver em que partes o valor y=2-3x cai nos três ramos de f:
1. Se 2-3x<= -1, então x>=1.
2. Se -1<2-3x<1, resolvendo obtemos tfrac13<x<1.
3. Se 2-3x>=1, então x<=tfrac13.
Assim, dividimos o domínio de x em
,(-infty,tfrac13], ,(tfrac13,1) e [1,infty).

Passo 3

Em cada ramo substituímos g(x)=2-3x na fórmula de f:
  • Para x<=tfrac13 temos 2-3x>=1, logo usamos f(y)=4-y^2:
(fcirc g)(x)=4 - (2-3x)^2
  • Para tfrac13<x<1 temos -1<2-3x<1, logo usamos f(y)=tfrac1y-2:
(fcirc g)(x)=1(2-3x)-2=1-3x=-13x
  • Para x>=1 temos 2-3x<=-1, logo usamos f(y)=y^2+2:
(fcirc g)(x)=(2-3x)^2+2

Passo 4

Para (gcirc f)(x)=2-3,f(x) basta substituir os ramos de f(x) em g:
  • Se x<= -1, f(x)=x^2+2, então
(gcirc f)(x)=2-3(x^2+2)=-3x^2-4
  • Se -1<x<1, f(x)=dfrac1x-2, então
(gcirc f)(x)=2-3x-2
  • Se x>=1, f(x)=4-x^2, então
(gcirc f)(x)=2-3(4-x^2)=3x^2-10

Resposta

(fcirc g)(x)= 4 - (2-3x)^2, & x<= tfrac13,[6pt] -dfrac13x, & tfrac13<x<1,[6pt] (2-3x)^2 + 2, & x>= 1,
(gcirc f)(x)= -3x^2 - 4, & x<= -1,[4pt] 2 - dfrac3x-2, & -1<x<1,[6pt] 3x^2 - 10, & x>= 1 ]

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