Sejam a e b inteiros primos entre si. Prove que mdc(a+b, a-b)=1 ou mdc(a+b, a-b)=2.

Passo 1

O enunciado diz que a e b são inteiros com gcd(a,b)=1, e pede para mostrar que
gcd(a+b,,a-b) só pode valer 1 ou 2.
O conteúdo principal aqui é a propriedade de que todo divisor comum de dois números divide qualquer combinação linear deles.

Passo 2

Defina
d = gcd(a+b,,a-b)
Pelo fato de d dividir ambos a+b e a-b, ele divide também quaisquer combinações lineares:
d mid l((a+b)+(a-b)r)=2a
d mid l((a+b)-(a-b)r)=2b

Passo 3

Portanto d é um divisor comum de 2a e 2b. Mas como gcd(a,b)=1, temos
gcd(2a,,2b)=2;gcd(a,b)=2
Isso implica que todo divisor comum de 2a e 2b divide 2, ou seja,
d mid 2

Passo 4

Os únicos divisores positivos de 2 são 1 e 2. Logo
din1,2,
isto é,
gcd(a+b,,a-b)=1ou gcd(a+b,,a-b)=2

Resposta

gcd(a+b,,a-b) é 1 ou 2.

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