Ache o algarismo das unidades dos seguintes números: 70^(7^7) e 99^(9^9).
Resoluçäo: Como 7 equiv 7(bmod 10), 7^2 equiv 9(bmod 10), 7^3 equiv 3(bmod 10) e 7^4 equiv 1(bmod 10), então 7^r equiv 7,9,3 ou 1(bmod 10), conforme, respectivamente, r equiv 1,2,3 ou 0(bmod 4). Mas 7 equiv 3(bmod 4), 7^2 equiv 1(bmod 4), 7^3 equiv 3(bmod 4), 7^4 equiv 1(bmod 4), ldots Ou seja, 7^3 equiv 3 ou 1(bmod 4), conforme s seja ímpar ou par. Como 7^7 é ímpar, então 7^7 equiv 3(bmod 4). Logo 7^(7^7) equiv 3(bmod 10). Assim, o algarismo das unidades do número dado 63.

Passo 1

O enunciado pede o algarismo das unidades de 70^(7^7) e de 99^(9^9). Para isso vamos usar aritmética modular em bmod 10, já que o resto da divisão por 10 determina o dígito das unidades.

Passo 2

Para 70^(7^7), note que
70equiv 0pmod10,
e então qualquer potência positiva de 70 também satisfaz
70^(7^7)equiv 0^(7^7)equiv 0pmod10
Logo o algarismo das unidades de 70^(7^7) é 0.

Passo 3

Para 99^(9^9), escrevemos
99equiv -1pmod10,
de modo que
99^(9^9)equiv (-1)^(9^9)pmod10
Basta agora verificar a paridade de 9^9. Como 9 é ímpar, qualquer potência sua também é ímpar, logo 9^9 é ímpar. Então
(-1)^(9^9) = -1 equiv 9pmod10,
e o algarismo das unidades de 99^(9^9) é 9.

Resposta

O algarismo das unidades de 70^(7^7) é 0
O algarismo das unidades de 99^(9^9) é 9

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