Sejam inteiros tais que e . Mostre que . Pode-se concluir também que ? Justifique a resposta.
Passo 1
O enunciado diz que satisfazem
Precisamos usar combinações lineares dessas duas divisibilidades para obter algo envolvendo apenas , e daí investigar se de fato divide . Em seguida, veremos se daí decorre .
Passo 2
Da primeira hipótese temos
Da segunda,
Subtraindo essas duas quantidades, fica
logo
Passo 3
Até aqui concluímos que . Para inferir seria necessário garantir que não haja nenhum divisor comum entre e que atrapalhe. Em outras palavras, de segue apenas
Se, em particular, gcd(a,5)=1, então de fato a mid c. Mas sem essa hipótese extra — ou seja, no caso geral em que 5 pode compartilhar fatores com a — não se pode concluir que a mid c. Contraexemplo: tome a=5, c=1, e escolha b tal que
b-3cequiv0pmod5, 3b-4cequiv0pmod5
Por exemplo b=3. Então
b-3c=0, 3b-4c=5,
ambos múltiplos de 5, mas 5 nmid 1 = c.
Passo 4
Agora, mesmo que em algum caso específico você tenha amid c, só então da primeira condição
amid(b-3c)
seguiria imediatamente
am|l[(b-3c)+3cr]=b
Mas, como vimos, no geral não se garante amid c, e assim também não se pode garantir amid b.
Resposta
Não se pode concluir, a partir apenas de amid(b-3c) e amid(3b-4c), que amid c; o que se prova é somente amid5c. Consequentemente, também não se pode garantir amid b sem hipótese adicional (por exemplo gcd(a,5)=1).
Cálculo - Hygino Domingues - Fundamentos de Aritmética - 1ª Edição - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 178