Sejam a, b, c inteiros tais que a mid(b-3 c) e a mid(3 b-4 c). Mostre que a mid c. Pode-se concluir também que a mid b ? Justifique a resposta.

Passo 1

O enunciado diz que a,b,cinZ satisfazem
amid (b-3c) e amid (3b-4c)
Precisamos usar combinações lineares dessas duas divisibilidades para obter algo envolvendo apenas c, e daí investigar se de fato a divide c. Em seguida, veremos se daí decorre amid b.

Passo 2

Da primeira hipótese temos
amid(b-3c) Longrightarrow amid 3,(b-3c)=3b-9c
Da segunda,
amid(3b-4c)
Subtraindo essas duas quantidades, fica
(3b-9c)-(3b-4c)=-5c,
logo
amid(-5c)Longrightarrow amid 5c

Passo 3

Até aqui concluímos que a mid 5c. Para inferir a mid c seria necessário garantir que não haja nenhum divisor comum entre a e 5 que atrapalhe. Em outras palavras, de a mid 5c segue apenas
gcd(a,5);m|;c
Se, em particular, gcd(a,5)=1, então de fato a mid c. Mas sem essa hipótese extra — ou seja, no caso geral em que 5 pode compartilhar fatores com a — não se pode concluir que a mid c.
Contraexemplo: tome a=5, c=1, e escolha b tal que
b-3cequiv0pmod5, 3b-4cequiv0pmod5
Por exemplo b=3. Então
b-3c=0, 3b-4c=5,
ambos múltiplos de 5, mas 5 nmid 1 = c.

Passo 4

Agora, mesmo que em algum caso específico você tenha amid c, só então da primeira condição
amid(b-3c)
seguiria imediatamente
am|l[(b-3c)+3cr]=b
Mas, como vimos, no geral não se garante amid c, e assim também não se pode garantir amid b.

Resposta

Não se pode concluir, a partir apenas de amid(b-3c) e amid(3b-4c), que amid c; o que se prova é somente amid5c. Consequentemente, também não se pode garantir amid b sem hipótese adicional (por exemplo gcd(a,5)=1).

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